Analysis Beispiele

$- x + \frac{1}{x} + 1$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x + \frac{1}{x} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- 1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 1 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 1 - x^{- 2} + 0$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1 - \frac{1}{x^{2}} + 0$

Schritt 5.2

Addiere $- 1 - \frac{1}{x^{2}}$ und $0$ .

$- 1 - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{x^{2}} - 1$