Analysis Beispiele

$3^{x - 5} = 7^{2 x}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (3^{x - 5}) = \ln (7^{2 x})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (3^{x - 5})$ durch Herausziehen von $x - 5$ aus dem Logarithmus.

$(x - 5) \ln (3) = \ln (7^{2 x})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (7^{2 x})$ durch Herausziehen von $2 x$ aus dem Logarithmus.

$(x - 5) \ln (3) = 2 x \ln (7)$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(x - 5) \ln (3)$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (x - 5) \ln (3) = 2 x \ln (7)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(x - 5) \ln (3) = 2 x \ln (7)$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (3) - 5 \ln (3) = 2 x \ln (7)$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2 x \ln (7)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (3) - 5 \ln (3) - 2 x \ln (7) = 0$

Schritt 4.3

Addiere $5 \ln (3)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (3) - 2 x \ln (7) = 5 \ln (3)$

Schritt 4.4

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (3) - 2 x \ln (7)$ heraus.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (3)$ heraus.

$x (\ln (3)) - 2 x \ln (7) = 5 \ln (3)$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x \ln (7)$ heraus.

$x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (7)) = 5 \ln (3)$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (7))$ heraus.

$x (\ln (3) - 2 \ln (7)) = 5 \ln (3)$

Schritt 4.5

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (3) - 2 \ln (7)) = 5 \ln (3)$ durch $\ln (3) - 2 \ln (7)$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (3) - 2 \ln (7)) = 5 \ln (3)$ durch $\ln (3) - 2 \ln (7)$ .

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (7))}{\ln (3) - 2 \ln (7)} = \frac{5 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (7)}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3) - 2 \ln (7)$ .

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Schritt 4.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (7))}{\ln (3) - 2 \ln (7)} = \frac{5 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (7)}$

Schritt 4.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (7)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{5 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (7)}$

Dezimalform:

$x = - 1.96657800 \dots$