Analysis Beispiele

$y = x$ , $y = \sqrt{x}$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x = \sqrt{x}$

Schritt 1.2

Löse $x = \sqrt{x}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{x} = x$

Schritt 1.2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x}}^{2} = x^{2}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = x^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Vereinfache.

$x = x^{2}$

Schritt 1.2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - x^{2} = 0$

Schritt 1.2.4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.2.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$u - u^{2} = 0$

Schritt 1.2.4.2.2

Faktorisiere $u$ aus $u - u^{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$u - u^{2} = 0$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Faktorisiere $u$ aus $u^{1}$ heraus.

$u \cdot 1 - u^{2} = 0$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Faktorisiere $u$ aus $- u^{2}$ heraus.

$u \cdot 1 + u (- u) = 0$

Schritt 1.2.4.2.2.4

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 1 + u (- u)$ heraus.

$u (1 - u) = 0$

Schritt 1.2.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$x (1 - x) = 0$

Schritt 1.2.4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0 + y = \sqrt{x}$

Schritt 1.2.4.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.4.5

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.5.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 1.2.4.5.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 1.2.4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.4.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.4.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.5.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 1.2.4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (1 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 0$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = \sqrt{0}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache $\sqrt{0}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \sqrt{0}$

Schritt 1.3.2.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$y = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.3.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = 0$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = 1$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$y = \sqrt{1}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache $\sqrt{1}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \sqrt{1}$

Schritt 1.4.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 1.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x - \int_{0}^{1} x d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $1$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} - (x) d x$

Schritt 3.2

Multipliziere $- 1$ mit $x$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} - x d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Schritt 3.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Schritt 3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x d x$

Schritt 3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x d x$

Schritt 3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Schritt 3.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Schritt 3.8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.8.2.1

Berechne $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Schritt 3.8.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $1$ und $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 3.8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.8.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 3.8.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 3.8.2.3.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 3.8.2.3.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 3.8.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.8.2.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 3.8.2.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 3.8.2.3.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 3.8.2.3.7

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 3.8.2.3.8

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 3.8.2.3.9

Addiere $\frac{2}{3}$ und $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 3.8.2.3.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 3.8.2.3.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Schritt 3.8.2.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 3.8.2.3.12.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 3.8.2.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.8.2.3.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 3.8.2.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 3.8.2.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Schritt 3.8.2.3.12.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - 0)$

Schritt 3.8.2.3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} + 0)$

Schritt 3.8.2.3.14

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 3.8.2.3.15

Um $\frac{2}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 3.8.2.3.16

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.8.2.3.17

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.8.2.3.17.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.8.2.3.17.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.8.2.3.17.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.8.2.3.17.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}$

Schritt 3.8.2.3.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \cdot 2 - 3}{6}$

Schritt 3.8.2.3.19

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.2.3.19.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 - 3}{6}$

Schritt 3.8.2.3.19.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{1}{6}$

Schritt 4