Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to - 4} \sqrt{x^{2} + 9} - 5}{x + 4}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 4} \sqrt{x^{2} + 9} - lim_{x \to - 4} 5}{x + 4}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 4} x^{2} + 9} - lim_{x \to - 4} 5}{x + 4}$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 4$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} 9} - lim_{x \to - 4} 5}{x + 4}$

Schritt 1.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} 9} - lim_{x \to - 4} 5}{x + 4}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 4$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 9} - lim_{x \to - 4} 5}{x + 4}$

Schritt 1.6

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 4$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 9} - 1 \cdot 5}{x + 4}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 4$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{{(- 4)}^{2} + 9} - 1 \cdot 5}{x + 4}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 9} - 1 \cdot 5}{x + 4}$

Schritt 3.1.2

Addiere $16$ und $9$ .

$\frac{\sqrt{25} - 1 \cdot 5}{x + 4}$

Schritt 3.1.3

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{5^{2}} - 1 \cdot 5}{x + 4}$

Schritt 3.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{x + 4}$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{5 - 5}{x + 4}$

Schritt 3.1.6

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{0}{x + 4}$

Schritt 3.2

Dividiere $0$ durch $x + 4$ .

$0$