Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 2} \frac{x^{3} + 8}{x + 2}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 2} x^{3} + lim_{x \to - 2} 8}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + lim_{x \to - 2} 8}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 1.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 8}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{3} + 8}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{- 8 + 8}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 1.1.2.3.2

Addiere $- 8$ und $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$\frac{0}{- 2 + 2}$

Schritt 1.1.3.3

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 2} \frac{x^{3} + 8}{x + 2} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.4

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 x^{2}}{1 + \frac{d}{d x} [2]}$

Schritt 1.3.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 x^{2}}{1 + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 x^{2}}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $3 x^{2}$ durch $1$ .

$lim_{x \to - 2} 3 x^{2}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 lim_{x \to - 2} x^{2}$

Schritt 2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 2$ für $x$ .

$3 {(- 2)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$3 \cdot 4$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12$