Analysis Beispiele

$f (x) = x \ln (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$1 + \ln (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Schritt 2.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{x}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$1 + \ln (x) = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Schritt 4.1.3.4

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $1 + \ln (x)$ .

$1 + \ln (x)$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $1 + \ln (x) = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$1 + \ln (x) = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (x) = - 1$

Schritt 5.3

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Schritt 5.4

Schreibe $\ln (x) = - 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Schritt 5.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $x = e^{- 1}$ um.

$x = e^{- 1}$

Schritt 5.5.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze das Argument in $\ln (x)$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 6.2

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{1}{e}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{1}{e}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{1}{\frac{1}{e}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 e$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$e$

Schritt 10

$x = \frac{1}{e}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{1}{e}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{1}{e}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Schreibe $\frac{1}{e}$ als $1 e^{- 1}$ um.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Schritt 11.2.2

Schreibe $\ln (1 e^{- 1})$ als $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ um.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Schritt 11.2.3

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Schritt 11.2.4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Schritt 11.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Schritt 11.2.6

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 1)$

Schritt 11.2.7

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 1$

Schritt 11.2.8

Kombiniere $\frac{1}{e}$ und $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 1}{e}$

Schritt 11.2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$

Schritt 11.2.10

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{e}$ .

$y = - \frac{1}{e}$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{1}{e})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13