Analysis Beispiele

$y = \sqrt{x + 7}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 7}$ als ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 7$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 7$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 7)$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 7)$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 7$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 7)$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7)$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7)$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7)$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7)$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7)$

Schritt 1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7)$

Schritt 1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 7)$

Schritt 1.7.3

Bringe ${(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 7)$

Schritt 1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (7))$

Schritt 1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (7))$

Schritt 1.10

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)$

Schritt 1.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 1.11.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ als ${({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

Schritt 2.1.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 7)}^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 2.1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 7)}^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 7$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 7$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 7$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 7)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 7)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 7)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 7)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 7)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 7)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 7)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 2.7.2

Kombiniere ${(x + 7)}^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{{(x + 7)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 2.7.3

Bringe ${(x + 7)}^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 2.7.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2 (2 {(x + 7)}^{\frac{3}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 7)$

Schritt 2.7.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 7)$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (7))$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (7))$

Schritt 2.10

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (1 + 0)$

Schritt 2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 7)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1.1

Da $- \frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{4 {(x + 7)}^{\frac{3}{2}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{3}{2}}}$ als ${({(x + 7)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ um.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {({(x + 7)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 7)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 7)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}$

Schritt 3.1.2.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.1.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 7)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}$

Schritt 3.1.2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 7)}^{\frac{- 3}{2}}$

Schritt 3.1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 7)}^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ und $g (x) = x + 7$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 7$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 7$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 7)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 7)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 7)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 7)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 7)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 7)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 3.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 7)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 3.7.2

Kombiniere ${(x + 7)}^{- \frac{5}{2}}$ und $\frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{{(x + 7)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 3.7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(x + 7)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 \cdot {(x + 7)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 3.7.3.2

Bringe ${(x + 7)}^{- \frac{5}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2 {(x + 7)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 3.7.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{1}{4}) \cdot (\frac{3}{2 {(x + 7)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 3.7.3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot (\frac{3}{2 {(x + 7)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 3.7.4

Mutltipliziere $\frac{3}{2 {(x + 7)}^{\frac{5}{2}}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2 {(x + 7)}^{\frac{5}{2}} \cdot 4} \cdot \frac{d}{d x} (x + 7)$

Schritt 3.7.5

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 7)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 7)$

Schritt 3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 7)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (7))$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 7)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (7))$

Schritt 3.10

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 7)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (1 + 0)$

Schritt 3.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 7)}^{\frac{5}{2}}} \cdot 1$

Schritt 3.11.2

Mutltipliziere $\frac{3}{8 {(x + 7)}^{\frac{5}{2}}}$ mit $1$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 7)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.1.1

Da $\frac{3}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{8 {(x + 7)}^{\frac{5}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{5}{2}}})$

Schritt 4.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{5}{2}}}$ als ${({(x + 7)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ um.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 7)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1})$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 7)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 7)}^{\frac{5}{2} \cdot - 1})$

Schritt 4.1.2.2.2

Multipliziere $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 4.1.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 7)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}})$

Schritt 4.1.2.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 7)}^{\frac{- 5}{2}})$

Schritt 4.1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 7)}^{- \frac{5}{2}})$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{5}{2}}$ und $g (x) = x + 7$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 7$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{5}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} u^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 7$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 7)}^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 7)}^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 7)}^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 7)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 7)}^{\frac{- 5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 5$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 7)}^{\frac{- 7}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 7)}^{- \frac{7}{2}} \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 4.7.2

Kombiniere ${(x + 7)}^{- \frac{7}{2}}$ und $\frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{{(x + 7)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 4.7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.7.3.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von ${(x + 7)}^{- \frac{7}{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 \cdot {(x + 7)}^{- \frac{7}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 4.7.3.2

Bringe ${(x + 7)}^{- \frac{7}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2 {(x + 7)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 7))$

Schritt 4.7.4

Mutltipliziere $\frac{3}{8}$ mit $\frac{5}{2 {(x + 7)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3 \cdot 5}{8 (2 {(x + 7)}^{\frac{7}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 7)$

Schritt 4.7.5

Multipliziere.

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Schritt 4.7.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{8 (2 {(x + 7)}^{\frac{7}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 7)$

Schritt 4.7.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 7)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 7)$

Schritt 4.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 7)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (7))$

Schritt 4.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 7)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (7))$

Schritt 4.10

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 7)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (1 + 0)$

Schritt 4.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 7)}^{\frac{7}{2}}} \cdot 1$

Schritt 4.11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 7)}^{\frac{7}{2}}}$