Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{4 + r^{2}}} d r$

Schritt 1

Sei $r = 2 \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d r = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ positiv ist.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \tan (t)$ an.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 \tan^{2} (t)$ heraus.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ heraus.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Ordne Terme um.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.7

Schreibe $4 \sec^{2} (t)$ als ${(2 \sec (t))}^{2}$ um.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 \sec (t)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $2 \sec (t)$ aus $2 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{0.4636476} \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{0.4636476} {(2 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \tan (t)$ heraus.

$\int_{0}^{0.4636476} {(2 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Schritt 2.2.2.2

Wende die Produktregel auf $2 (\tan (t))$ an.

$\int_{0}^{0.4636476} 2^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Schritt 2.2.2.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\int_{0}^{0.4636476} 8 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Schritt 3

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int_{0}^{0.4636476} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Schritt 4

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$8 \int_{0}^{0.4636476} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 5

Faktorisiere $\tan^{2} (t)$ aus.

$8 \int_{0}^{0.4636476} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 6

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$8 \int_{0}^{0.4636476} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 7

Vereinfache.

$8 \int_{0}^{0.4636476} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Schritt 8

Sei $u = \sec (t)$ . Dann ist $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , folglich $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = \sec (t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Schritt 8.1.2

Die Ableitung von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Schritt 8.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = \sec (t)$ ein.

$u_{lower} = \sec (0)$

Schritt 8.3

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 8.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = \sec (t)$ ein.

$u_{upper} = \sec (0.4636476)$

Schritt 8.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sec (0.4636476)$

Schritt 8.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$8 \int_{1}^{\sec (0.4636476)} - 1 + u^{2} d u$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$8 (\int_{1}^{\sec (0.4636476)} - 1 d u + \int_{1}^{\sec (0.4636476)} u^{2} d u)$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$8 (- u]_{1}^{\sec (0.4636476)} + \int_{1}^{\sec (0.4636476)} u^{2} d u)$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$8 (- u]_{1}^{\sec (0.4636476)} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)})$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Kombiniere $- u]_{1}^{\sec (0.4636476)}$ und $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)}$ .

$8 (- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)})$

Schritt 12.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$8 (- u + \frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\sec (0.4636476)})$

Schritt 13

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 13.1

Berechne $- u + \frac{u^{3}}{3}$ bei $\sec (0.4636476)$ und $1$ .

$8 ((- \sec (0.4636476) + \frac{\sec^{3} (0.4636476)}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 13.2

Vereinfache.

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Schritt 13.2.1

Um $- \sec (0.4636476)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$8 (- \sec (0.4636476) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 13.2.2

Kombiniere $- \sec (0.4636476)$ und $\frac{3}{3}$ .

$8 (\frac{- \sec (0.4636476) \cdot 3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 13.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 (\frac{- \sec (0.4636476) \cdot 3 + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 13.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 13.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Schritt 13.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Schritt 13.2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Schritt 13.2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Schritt 13.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Schritt 13.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

Schritt 13.2.10.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - \frac{- 2}{3})$

Schritt 13.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} - - \frac{2}{3})$

Schritt 13.2.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

Schritt 13.2.13

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$8 (\frac{- 3 \sec (0.4636476) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 \sec (0.4636476)$ heraus.

$8 (\frac{- (3 \sec (0.4636476)) + \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

Schritt 14.2

Faktorisiere $- 1$ aus $\sec^{3} (0.4636476)$ heraus.

$8 (\frac{- (3 \sec (0.4636476)) - 1 (- \sec^{3} (0.4636476))}{3} + \frac{2}{3})$

Schritt 14.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 \sec (0.4636476)) - 1 (- \sec^{3} (0.4636476))$ heraus.

$8 (\frac{- (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))}{3} + \frac{2}{3})$

Schritt 14.4

Schreibe $- (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))$ als $- 1 (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))$ um.

$8 (\frac{- 1 (3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476))}{3} + \frac{2}{3})$

Schritt 14.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 (- \frac{3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$8 (- \frac{3 \sec (0.4636476) - \sec^{3} (0.4636476)}{3} + \frac{2}{3})$

Dezimalform:

$0.11584138 \dots$

Schritt 16