Analysis Beispiele

$\int 8 e^{4 y} d y$

Schritt 1

Da $8$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int e^{4 y} d y$

Schritt 2

Sei $u = 4 y$ . Dann ist $d u = 4 d y$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 4 y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $4 y$ .

$\frac{d}{d y} [4 y]$

Schritt 2.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ nach $y$ gleich $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$4 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$8 \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Schritt 3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$8 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$8 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $8$ .

$\frac{8}{4} \int e^{u} d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 \cdot 2}{4} \int e^{u} d u$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot 2}{4 (1)} \int e^{u} d u$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} \int e^{u} d u$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \int e^{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$2 (e^{u} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$2 e^{u} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $4 y$ .

$2 e^{4 y} + C$