Analysis Beispiele

$\int x \sin^{3} (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin^{3} (x)$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - \int - \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\int - \cos (x) d x + \int \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x)$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \int \cos (x) d x + \int \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x)$

Schritt 4

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \int \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x)$

Schritt 5

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int \cos^{3} (x) d x)$

Schritt 6

Faktorisiere $\cos^{2} (x)$ aus.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int \cos^{2} (x) \cos (x) d x)$

Schritt 7

Schreibe $\cos^{2} (x)$ in $1 - \sin^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x)$

Schritt 8

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 8.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int 1 - u^{2} d u)$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (\int d u + \int - u^{2} d u))$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (u + C + \int - u^{2} d u))$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (u + C - \int u^{2} d u))$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)))$

Schritt 13

Vereinfache.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} (u - \frac{1}{3} u^{3})) + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} (\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x))) + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Kombiniere $\sin^{3} (x)$ und $\frac{1}{3}$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} (\sin (x) - \frac{\sin^{3} (x)}{3})) + C$

Schritt 15.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} \sin (x) + \frac{1}{3} (- \frac{\sin^{3} (x)}{3})) + C$

Schritt 15.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{\sin (x)}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{\sin^{3} (x)}{3})) + C$

Schritt 15.1.4

Multipliziere $\frac{1}{3} (- \frac{\sin^{3} (x)}{3})$ .

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Schritt 15.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{\sin^{3} (x)}{3}$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{3 \cdot 3}) + C$

Schritt 15.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

Schritt 15.2

Um $- \sin (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

Schritt 15.3

Kombiniere $- \sin (x)$ und $\frac{3}{3}$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{- \sin (x) \cdot 3}{3} + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

Schritt 15.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{- \sin (x) \cdot 3 + \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

Schritt 15.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.5.1.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- \sin (x) \cdot 3 + \sin (x)$ heraus.

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Schritt 15.5.1.1.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- \sin (x) \cdot 3$ heraus.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 1 \cdot 3) + \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

Schritt 15.5.1.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 1 \cdot 3) + \sin (x) \cdot 1}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

Schritt 15.5.1.1.3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) (- 1 \cdot 3) + \sin (x) \cdot 1$ heraus.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 1 \cdot 3 + 1)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

Schritt 15.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 3 + 1)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

Schritt 15.5.1.3

Addiere $- 3$ und $1$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) \cdot - 2}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

Schritt 15.5.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{- 2 \cdot \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

Schritt 15.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \frac{2 \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

Schritt 15.6

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - - \frac{2 \sin (x)}{3} - - \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

Schritt 15.7

Multipliziere $- - \frac{2 \sin (x)}{3}$ .

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Schritt 15.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + 1 \frac{2 \sin (x)}{3} - - \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

Schritt 15.7.2

Mutltipliziere $\frac{2 \sin (x)}{3}$ mit $1$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2 \sin (x)}{3} - - \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

Schritt 15.8

Multipliziere $- - \frac{\sin^{3} (x)}{9}$ .

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Schritt 15.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2 \sin (x)}{3} + 1 \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

Schritt 15.8.2

Mutltipliziere $\frac{\sin^{3} (x)}{9}$ mit $1$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2 \sin (x)}{3} + \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2}{3} \sin (x) + \frac{1}{9} \sin^{3} (x) + C$