Analysis Beispiele

$\int π \sin (π x) d x$

Schritt 1

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $π$ aus dem Integral.

$π \int \sin (π x) d x$

Schritt 2

Sei $u = π x$ . Dann ist $d u = π d x$ , folglich $\frac{1}{π} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = π x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 2.1.2

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$π$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$π \int \sin (u) \frac{1}{π} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{π}$ .

$π \int \frac{\sin (u)}{π} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{π}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{π}$ aus dem Integral.

$π (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{π}$ und $π$ .

$\frac{π}{π} \int \sin (u) d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π}{π} \int \sin (u) d u$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \sin (u) d u$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\int \sin (u) d u$ mit $1$ .

$\int \sin (u) d u$

Schritt 6

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$- \cos (u) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $π x$ .

$- \cos (π x) + C$