Analysis Beispiele

$\int t^{3} e^{- t^{2}} d t$

Schritt 1

Sei $u = - t^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 t d t$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = - t^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $- t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Schritt 1.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t^{2}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 t)$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 t$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int {\sqrt{- u}}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Schreibe ${\sqrt{- u}}^{2}$ als $- u$ um.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- u}$ als ${(- u)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int {({(- u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(- u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int {(- u)}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

$\int - u e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - u e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int 1 u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$\int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u$ .

$\int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Schritt 2.6

Kombiniere $\frac{u}{2}$ und $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = u$ und $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Schritt 5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Schritt 6

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $- t^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}} - e^{- t^{2}}) + C$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

Schritt 8.2

Multipliziere $\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}})$ .

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$- \frac{t^{2}}{2} e^{- t^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

Schritt 8.2.2

Kombiniere $e^{- t^{2}}$ und $\frac{t^{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

Schritt 8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{- t^{2}}$ .

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + C$

Schritt 8.4

Stelle die Faktoren in $- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2}$ um.

$- \frac{t^{2} e^{- t^{2}}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + C$

Schritt 9

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{2} t^{2} e^{- t^{2}} - \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + C$