Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 3.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Schritt 3.2.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 0$

Schritt 3.2.9

Addiere $\frac{2}{3}$ und $0$ .

$\frac{2}{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{6}$

Schritt 5