Analysis Beispiele

Berechne das Integral Integral über (x^2)/(x-1) nach x
Schritt 1
Dividiere durch .
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Schritt 1.1
Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert .
-++
Schritt 1.2
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
-++
Schritt 1.3
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
-++
+-
Schritt 1.4
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
-++
-+
Schritt 1.5
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
-++
-+
+
Schritt 1.6
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
-++
-+
++
Schritt 1.7
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
+
-++
-+
++
Schritt 1.8
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
+
-++
-+
++
+-
Schritt 1.9
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
+
-++
-+
++
-+
Schritt 1.10
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
+
-++
-+
++
-+
+
Schritt 1.11
Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.
Schritt 2
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 3
Gemäß der Potenzregel ist das Integral von nach gleich .
Schritt 4
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 5
Sei . Dann ist . Forme um unter Vewendung von und .
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Schritt 5.1
Es sei . Ermittle .
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Schritt 5.1.1
Differenziere .
Schritt 5.1.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 5.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.1.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 5.1.5
Addiere und .
Schritt 5.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 6
Das Integral von nach ist .
Schritt 7
Vereinfache.
Schritt 8
Ersetze alle durch .