Analysis Beispiele

Berechne das Integral Integral über (x^3)/( Quadratwurzel von x^2+36) nach x
Schritt 1
Sei , mit . Dann ist . Beachte, dass wegen , positiv ist.
Schritt 2
Vereinfache Terme.
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Schritt 2.1
Vereinfache .
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Schritt 2.1.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 2.1.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 2.1.1.2
Potenziere mit .
Schritt 2.1.2
Faktorisiere aus heraus.
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Schritt 2.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.3
Wende den trigonometrischen Pythagoras an.
Schritt 2.1.4
Schreibe als um.
Schritt 2.1.5
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 2.2
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 2.2.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.2.1.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.2.2
Vereinfache.
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Schritt 2.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.2.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 2.2.2.3
Potenziere mit .
Schritt 3
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 4
Potenziere mit .
Schritt 5
Faktorisiere aus.
Schritt 6
Schreibe in um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.
Schritt 7
Vereinfache.
Schritt 8
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
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Schritt 8.1
Es sei . Ermittle .
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Schritt 8.1.1
Differenziere .
Schritt 8.1.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 8.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 9
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 10
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 11
Gemäß der Potenzregel ist das Integral von nach gleich .
Schritt 12
Vereinfache.
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Schritt 12.1
Kombiniere und .
Schritt 12.2
Vereinfache.
Schritt 13
Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.
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Schritt 13.1
Ersetze alle durch .
Schritt 13.2
Ersetze alle durch .
Schritt 14
Vereinfache.
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Schritt 14.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 14.1.1
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 14.1.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 14.1.3
Potenziere mit .
Schritt 14.1.4
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 14.1.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 14.1.6
Schreibe als um.
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Schritt 14.1.6.1
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 14.1.6.2
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 14.1.6.3
Ordne den Bruch um.
Schritt 14.1.7
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 14.1.8
Kombiniere und .
Schritt 14.1.9
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 14.1.10
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 14.1.11
Potenziere mit .
Schritt 14.1.12
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 14.1.13
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 14.1.14
Schreibe als um.
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Schritt 14.1.14.1
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 14.1.14.2
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 14.1.14.3
Ordne den Bruch um.
Schritt 14.1.15
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 14.1.16
Kombiniere und .
Schritt 14.1.17
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 14.1.18
Kombinieren.
Schritt 14.1.19
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.1.20
Potenziere mit .
Schritt 14.1.21
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 14.1.21.1
Schreibe als um.
Schritt 14.1.21.2
Faktorisiere aus.
Schritt 14.1.21.3
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 14.1.21.4
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 14.1.21.5
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.1.21.5.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 14.1.21.5.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 14.1.21.5.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 14.1.22
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 14.3
Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von multiplizierst.
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Schritt 14.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 14.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.5.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 14.5.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 14.5.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 14.6
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 14.6.1
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.6.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 14.6.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 14.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.6.3
Addiere und .
Schritt 14.7
Schreibe als um.
Schritt 14.8
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 14.9
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 14.10
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.