Gib eine Aufgabe ein ...
Analysis Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 1.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Schritt 1.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 1.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.3
Differenziere.
Schritt 1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.3
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 1.3.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.3.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.3.3.3
Schreibe als um.
Schritt 1.3.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.4
Vereinfache.
Schritt 1.4.1
Stelle die Terme um.
Schritt 1.4.2
Stelle die Faktoren in um.
Schritt 2
Schritt 2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.2
Berechne .
Schritt 2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 2.2.3
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Schritt 2.2.3.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 2.2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 2.2.3.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.2.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.5
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.6
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.8
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 2.2.9
Schreibe als um.
Schritt 2.3
Berechne .
Schritt 2.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 2.3.3
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Schritt 2.3.3.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 2.3.3.2
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 2.3.3.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.3.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.3.5
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.6
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.8
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 2.3.9
Schreibe als um.
Schritt 2.3.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4
Vereinfache.
Schritt 2.4.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.4.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.4.3
Vereine die Terme
Schritt 2.4.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4.3.5
Subtrahiere von .
Schritt 2.4.3.5.1
Bewege .
Schritt 2.4.3.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.4.4
Stelle die Terme um.
Schritt 2.4.5
Stelle die Faktoren in um.
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Schritt 4.1
Bestimme die erste Ableitung.
Schritt 4.1.1
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 4.1.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Schritt 4.1.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 4.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 4.1.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 4.1.3
Differenziere.
Schritt 4.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.3.3
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 4.1.3.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.3.3.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 4.1.3.3.3
Schreibe als um.
Schritt 4.1.3.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.4
Vereinfache.
Schritt 4.1.4.1
Stelle die Terme um.
Schritt 4.1.4.2
Stelle die Faktoren in um.
Schritt 4.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 5
Schritt 5.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 5.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 5.4
Setze gleich .
Schritt 5.5
Setze gleich und löse nach auf.
Schritt 5.5.1
Setze gleich .
Schritt 5.5.2
Löse nach auf.
Schritt 5.5.2.1
Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.
Schritt 5.5.2.2
Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da nicht definiert ist.
Undefiniert
Schritt 5.5.2.3
Es gibt keine Lösung für
Keine Lösung
Keine Lösung
Keine Lösung
Schritt 5.6
Setze gleich und löse nach auf.
Schritt 5.6.1
Setze gleich .
Schritt 5.6.2
Löse nach auf.
Schritt 5.6.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.6.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 5.6.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 5.6.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 5.6.2.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 5.6.2.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 5.6.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 5.6.2.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 5.7
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 6
Schritt 6.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 7
Kritische Punkte zum auswerten.
Schritt 8
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 9
Schritt 9.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 9.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 9.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.3
Alles, was mit potenziert wird, ist .
Schritt 9.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.7
Alles, was mit potenziert wird, ist .
Schritt 9.1.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.10
Alles, was mit potenziert wird, ist .
Schritt 9.1.11
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2
Vereinfache durch Addieren von Zahlen.
Schritt 9.2.1
Addiere und .
Schritt 9.2.2
Addiere und .
Schritt 10
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 11
Schritt 11.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 11.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 11.2.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 11.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.3
Alles, was mit potenziert wird, ist .
Schritt 11.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.5
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 12
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 13
Schritt 13.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 13.1.1
Potenziere mit .
Schritt 13.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.1.3
Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 13.1.4
Kombiniere und .
Schritt 13.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.1.7
Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 13.1.8
Kombiniere und .
Schritt 13.1.9
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 13.1.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.1.11
Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 13.1.12
Kombiniere und .
Schritt 13.2
Kombiniere Brüche.
Schritt 13.2.1
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 13.2.2
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 13.2.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 13.2.2.2
Addiere und .
Schritt 13.2.2.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 14
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 15
Schritt 15.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 15.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 15.2.1
Potenziere mit .
Schritt 15.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.3
Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 15.2.4
Kombiniere und .
Schritt 15.2.5
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 16
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Minimum
ist ein lokales Maximum
Schritt 17