Analysis Beispiele

$\sqrt{r} + \sqrt[5]{R}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{r} + \sqrt[5]{R}$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [\sqrt{r}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{R}]$ .

$\frac{d}{d r} [\sqrt{r}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{R}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d r} [\sqrt{r}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{r}$ als $r^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{R}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{R}]$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{R}]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{R}]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{R}]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{R}]$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{R}]$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{R}]$

Schritt 3

Da $\sqrt[5]{R}$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $\sqrt[5]{R}$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r^{\frac{1}{2}}} + 0$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}} + 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}$