Analysis Beispiele

$\ln (| x |)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = | x |$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $| x |$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $| x |$ .

$\frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 2

Die Ableitung von $| x |$ nach $x$ ist $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{1}{| x |}$ mit $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x | | x |}$

Schritt 4

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\frac{x}{| x \cdot x |}$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x}{| x^{1} x |}$

Schritt 6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

Schritt 8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x}{| x^{2} |}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$\frac{x}{x^{2}}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 9.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1}}{x^{2}}$

Schritt 9.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 9.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Schritt 9.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Schritt 9.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x}$