Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$2 x \ln (x) + x$