Analysis Beispiele

$x^{4} (x + y) = y^{2} (3 x - y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{4} (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} (3 x - y))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = x + y$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{4} (1 + y') + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x^{4} (1 + y') + (x + y) (4 x^{3})$

Schritt 2.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x + y$ .

$x^{4} (1 + y') + 4 \cdot (x + y) x^{3}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} \cdot 1 + x^{4} y' + 4 (x + y) x^{3}$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} \cdot 1 + x^{4} y' + (4 x + 4 y) x^{3}$

Schritt 2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} \cdot 1 + x^{4} y' + 4 x \cdot x^{3} + 4 y x^{3}$

Schritt 2.6.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.6.4.1

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 x \cdot x^{3} + 4 y x^{3}$

Schritt 2.6.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.4.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 (x^{3} x) + 4 y x^{3}$

Schritt 2.6.4.2.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 2.6.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 (x^{3} x^{1}) + 4 y x^{3}$

Schritt 2.6.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3 + 1} + 4 y x^{3}$

Schritt 2.6.4.2.3

Addiere $3$ und $1$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{4} + 4 y x^{3}$

Schritt 2.6.4.3

Addiere $x^{4}$ und $4 x^{4}$ .

$5 x^{4} + x^{4} y' + 4 y x^{3}$

Schritt 2.6.5

Stelle die Terme um.

$5 x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3} y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y^{2}$ und $g (x) = 3 x - y$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [3 x - y] + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$y^{2} (3 - \frac{d}{d x} [y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $3 x - y$ .

$y^{2} (3 - y') + 2 \cdot (3 x - y) y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.6

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y^{2} (3 - y') + 2 (3 x - y) y y'$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + 2 (3 x - y) y y'$

Schritt 3.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + (2 (3 x) + 2 (- y)) y y'$

Schritt 3.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + (2 (3 x) y + 2 (- y) y) y'$

Schritt 3.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + 2 (3 x) y y' + 2 (- y) y y'$

Schritt 3.7.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.7.5.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$3 \cdot y^{2} + y^{2} (- y') + 2 (3 x) y y' + 2 (- y) y y'$

Schritt 3.7.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' + 2 (- y) y y'$

Schritt 3.7.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 y \cdot y y'$

Schritt 3.7.5.4

Potenziere $y$ mit $1$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 (y^{1} y) y'$

Schritt 3.7.5.5

Potenziere $y$ mit $1$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 (y^{1} y^{1}) y'$

Schritt 3.7.5.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 y^{1 + 1} y'$

Schritt 3.7.5.7

Addiere $1$ und $1$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 y^{2} y'$

Schritt 3.7.5.8

Subtrahiere $2 y^{2} y'$ von $y^{2} (- y')$ .

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Schritt 3.7.5.8.1

Stelle $y^{2}$ und $- 1$ um.

$3 y^{2} - 1 \cdot y^{2} y' - 2 y^{2} y' + 6 x y y'$

Schritt 3.7.5.8.2

Subtrahiere $2 y^{2} y'$ von $- 1 \cdot y^{2} y'$ .

$3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$5 x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3} y = 3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Da $y'$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y' = 5 x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3} y$

Schritt 5.2

Subtrahiere $x^{4} y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y' - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y$

Schritt 5.3

Subtrahiere $3 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y^{2} y' + 6 x y y' - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y^{2} y' + 6 x y y' - x^{4} y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (- 3 y^{2}) + 6 x y y' - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $6 x y y'$ heraus.

$y' (- 3 y^{2}) + y' (6 x y) - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $- x^{4} y'$ heraus.

$y' (- 3 y^{2}) + y' (6 x y) + y' (- x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 3 y^{2}) + y' (6 x y)$ heraus.

$y' (- 3 y^{2} + 6 x y) + y' (- x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 3 y^{2} + 6 x y) + y' (- x^{4})$ heraus.

$y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ durch $- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ durch $- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ .

$\frac{y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4})}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} - \frac{3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} - \frac{3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Schritt 5.5.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Schritt 5.5.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2}) + 6 x y - x^{4}}$

Schritt 5.5.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $6 x y$ heraus.

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2}) - (- 6 x y) - x^{4}}$

Schritt 5.5.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 y^{2}) - (- 6 x y)$ heraus.

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2} - 6 x y) - x^{4}}$

Schritt 5.5.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{4}$ heraus.

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})}$

Schritt 5.5.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})$ heraus.

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}$

Schritt 5.5.3.9

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.5.3.9.1

Schreibe $- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ als $- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ um.

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}$

Schritt 5.5.3.9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}$