Analysis Beispiele

$\int \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Schreibe $\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ als ein Produkt um.

$\int \ln (x) \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = \frac{1}{\sqrt{x}}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int x^{\frac{1}{2}} \frac{2}{x} d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2}{x}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{x} d x$

Schritt 3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Schritt 3.4

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 3.5

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 3.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 3.5.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 3.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Schritt 3.5.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - (2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 5.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Schreibe $\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ als $2 \ln (x) x^{\frac{1}{2}} - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$ um.

$2 \ln (x) x^{\frac{1}{2}} - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$2 \ln (x) x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$