Analysis Beispiele

$\int t e^{- 2 t} d t$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t$ und $d v = e^{- 2 t}$ .

$t (- \frac{1}{2} e^{- 2 t}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 t} d t$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $e^{- 2 t}$ und $\frac{1}{2}$ .

$t (- \frac{e^{- 2 t}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 t} d t$

Schritt 2.2

Kombiniere $t$ und $\frac{e^{- 2 t}}{2}$ .

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 t} d t$

Schritt 3

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- \frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 t} d t)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 t} d t)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 t} d t$

Schritt 5

Sei $u = - 2 t$ . Dann ist $d u = - 2 d t$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = - 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $- 2 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 2 t]$

Schritt 5.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 2 t$ nach $t$ gleich $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 6

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 6.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Schritt 9

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Schritt 10

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Schritt 11

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Schritt 11.1

Schreibe $- \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ als $- \frac{1}{2} t e^{- 2 t} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ um.

$- \frac{1}{2} t e^{- 2 t} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Schritt 11.2

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $t$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{t}{2} e^{- 2 t} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Schritt 11.2.2

Kombiniere $e^{- 2 t}$ und $\frac{t}{2}$ .

$- \frac{e^{- 2 t} t}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $- 2 t$ .

$- \frac{e^{- 2 t} t}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 t} + C$

Schritt 13

Kombiniere $e^{- 2 t}$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{- 2 t} t}{2} - \frac{e^{- 2 t}}{4} + C$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 t} t - \frac{1}{4} e^{- 2 t} + C$