Analysis Beispiele

$\int e^{- 3 t} d t$

Schritt 1

Sei $u = - 3 t$ . Dann ist $d u = - 3 d t$ , folglich $- \frac{1}{3} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = - 3 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $- 3 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 3 t]$

Schritt 1.1.2

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3 t$ nach $t$ gleich $- 3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 3 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{3} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Schritt 5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

$- \frac{1}{3} e^{u} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $- 3 t$ .

$- \frac{1}{3} e^{- 3 t} + C$