Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{5}{x^{2} + 5}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{x^{2} + 5}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 5}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 5}]$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2} + 5}$ als ${(x^{2} + 5)}^{- 1}$ um.

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{- 1}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 5$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 5$ .

$5 (- {(x^{2} + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 ({(x^{2} + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 1.3.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x + 0)$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x)$

Schritt 1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$- 10 {(x^{2} + 5)}^{- 2} x$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 10 \frac{1}{{(x^{2} + 5)}^{2}} x$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.2.1

Kombiniere $- 10$ und $\frac{1}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}} x$

Schritt 1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10}{{(x^{2} + 5)}^{2}} x$

Schritt 1.4.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 1.4.2.4

Bringe $10$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = - \frac{10 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{10 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}]$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 5)}^{2}$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{(x^{2} + 5)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} + 5)}^{2}$ mit $1$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 5$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 5$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - x (2 (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Schritt 2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere $x^{2} + 5$ aus ${(x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ heraus.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 5$ aus ${(x^{2} + 5)}^{2}$ heraus.

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) - 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Schritt 2.5.2.2

Faktorisiere $x^{2} + 5$ aus $- 2 x ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ heraus.

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Schritt 2.5.2.3

Faktorisiere $x^{2} + 5$ aus $(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))$ heraus.

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Schritt 2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $x^{2} + 5$ aus ${(x^{2} + 5)}^{4}$ heraus.

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 10 \frac{(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.9

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.14

Addiere $1$ und $1$ .

$- 10 \frac{x^{2} + 5 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.15

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- 10 \frac{- 3 x^{2} + 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.16

Kombiniere $- 10$ und $\frac{- 3 x^{2} + 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$ .

$\frac{- 10 (- 3 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10 (- 3 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.18

Vereinfache.

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Schritt 2.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{10 (- 3 x^{2}) + 10 \cdot 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.18.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.18.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $10$ .

$- \frac{- 30 x^{2} + 10 \cdot 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.2

Mutltipliziere $10$ mit $5$ .

$- \frac{- 30 x^{2} + 50}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.18.3

Faktorisiere $10$ aus $- 30 x^{2} + 50$ heraus.

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Schritt 2.18.3.1

Faktorisiere $10$ aus $- 30 x^{2}$ heraus.

$- \frac{10 (- 3 x^{2}) + 50}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.18.3.2

Faktorisiere $10$ aus $50$ heraus.

$- \frac{10 (- 3 x^{2}) + 10 (5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.18.3.3

Faktorisiere $10$ aus $10 (- 3 x^{2}) + 10 (5)$ heraus.

$- \frac{10 (- 3 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.18.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- \frac{10 (- (3 x^{2}) + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.18.5

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$- \frac{10 (- (3 x^{2}) - 1 (- 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.18.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - 1 (- 5)$ heraus.

$- \frac{10 (- (3 x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.18.7

Schreibe $- (3 x^{2} - 5)$ als $- 1 (3 x^{2} - 5)$ um.

$- \frac{10 (- 1 (3 x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.18.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{10 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.18.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{10 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 2.18.10

Mutltipliziere $\frac{10 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{10 (3 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 5}{{(x^{2} + 5)}^{3}}]$

Schritt 3.2

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5] - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{({(x^{2} + 5)}^{3})}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 5)}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5] - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{3 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5] - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} (6 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.3.6

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} (6 x + 0) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.7.1

Addiere $6 x$ und $0$ .

$10 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} (6 x) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.3.7.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 5)}^{3}$ .

$10 \frac{6 \cdot {(x^{2} + 5)}^{3} x - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{3}]}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 5$ .

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - (3 x^{2} - 5) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - (3 x^{2} - 5) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 5$ .

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - (3 x^{2} - 5) (3 {(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [5]))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.5.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} (2 x + 0))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.5.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.5.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.5.5.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.5.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 5)}^{2}$ .

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 5) (2 \cdot {(x^{2} + 5)}^{2} x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.5.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$10 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 6 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.5.5.3

Kombiniere $10$ und $\frac{6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 6 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$ .

$\frac{10 (6 {(x^{2} + 5)}^{3} x - 6 (3 x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 (6 {(x^{2} + 5)}^{3} x + (- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 (6 {(x^{2} + 5)}^{3} x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{10 (6 ({(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 (6 (x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{10 (6 (x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 (6 (x^{6} + 3 x^{2 \cdot 2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{10 (6 (x^{6} + 3 x^{4} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{10 (6 (x^{6} + 15 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.2.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10 (6 (x^{6} + 15 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 25 + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.2.5

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$\frac{10 (6 (x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 5^{3}) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.2.6

Potenziere $5$ mit $3$ .

$\frac{10 (6 (x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 125) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 ((6 x^{6} + 6 (15 x^{4}) + 6 (75 x^{2}) + 6 \cdot 125) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.4.1

Mutltipliziere $15$ mit $6$ .

$\frac{10 ((6 x^{6} + 90 x^{4} + 6 (75 x^{2}) + 6 \cdot 125) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.4.2

Mutltipliziere $75$ mit $6$ .

$\frac{10 ((6 x^{6} + 90 x^{4} + 450 x^{2} + 6 \cdot 125) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.4.3

Mutltipliziere $6$ mit $125$ .

$\frac{10 ((6 x^{6} + 90 x^{4} + 450 x^{2} + 750) x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 (6 x^{6} x + 90 x^{4} x + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.6.1

Multipliziere $x^{6}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.6.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{10 (6 (x \cdot x^{6}) + 90 x^{4} x + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{6}$ .

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Schritt 3.6.3.6.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{10 (6 (x^{1} x^{6}) + 90 x^{4} x + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.6.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{10 (6 x^{1 + 6} + 90 x^{4} x + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.6.1.3

Addiere $1$ und $6$ .

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 x^{4} x + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.6.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.3.6.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 (x \cdot x^{4}) + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.6.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 3.6.3.6.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 (x^{1} x^{4}) + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.6.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 x^{1 + 4} + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.6.2.3

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 x^{5} + 450 x^{2} x + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.6.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.3.6.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 x^{5} + 450 (x \cdot x^{2}) + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.6.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.6.3.6.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 x^{5} + 450 (x^{1} x^{2}) + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.6.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 x^{5} + 450 x^{1 + 2} + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.6.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{10 (6 x^{7} + 90 x^{5} + 450 x^{3} + 750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 (6 x^{7}) + 10 (90 x^{5}) + 10 (450 x^{3}) + 10 (750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.6.3.8.1

Mutltipliziere $6$ mit $10$ .

$\frac{60 x^{7} + 10 (90 x^{5}) + 10 (450 x^{3}) + 10 (750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.8.2

Mutltipliziere $90$ mit $10$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 10 (450 x^{3}) + 10 (750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.8.3

Mutltipliziere $450$ mit $10$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 10 (750 x) + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.8.4

Mutltipliziere $750$ mit $10$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.3.9.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 6$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} - 6 \cdot - 5) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.9.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 5$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ({(x^{2} + 5)}^{2} x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.10

Schreibe ${(x^{2} + 5)}^{2}$ als $(x^{2} + 5) (x^{2} + 5)$ um.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{2} + 5) (x^{2} + 5) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.11

Multipliziere $(x^{2} + 5) (x^{2} + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{2} (x^{2} + 5) + 5 (x^{2} + 5)) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 5 + 5 (x^{2} + 5)) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 5 + 5 x^{2} + 5 \cdot 5) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.6.3.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.3.12.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.3.12.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 5 + 5 x^{2} + 5 \cdot 5) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.12.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{4} + x^{2} \cdot 5 + 5 x^{2} + 5 \cdot 5) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.12.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{4} + 5 \cdot x^{2} + 5 x^{2} + 5 \cdot 5) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.12.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{4} + 5 x^{2} + 5 x^{2} + 25) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.12.2

Addiere $5 x^{2}$ und $5 x^{2}$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) ((x^{4} + 10 x^{2} + 25) x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.13

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{4} x + 10 x^{2} x + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.14

Vereinfache.

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Schritt 3.6.3.14.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.3.14.1.1

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

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Schritt 3.6.3.14.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{4} x^{1} + 10 x^{2} x + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.14.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{4 + 1} + 10 x^{2} x + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.14.1.2

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{5} + 10 x^{2} x + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.14.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.3.14.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{5} + 10 (x \cdot x^{2}) + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.14.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.6.3.14.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{5} + 10 (x^{1} x^{2}) + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.14.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{5} + 10 x^{1 + 2} + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.14.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 ((- 18 x^{2} + 30) (x^{5} + 10 x^{3} + 25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.15

Multipliziere $(- 18 x^{2} + 30) (x^{5} + 10 x^{3} + 25 x)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{2} x^{5} - 18 x^{2} (10 x^{3}) - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.16

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.3.16.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.3.16.1.1

Bewege $x^{5}$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 (x^{5} x^{2}) - 18 x^{2} (10 x^{3}) - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.16.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{5 + 2} - 18 x^{2} (10 x^{3}) - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.16.1.3

Addiere $5$ und $2$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 18 x^{2} (10 x^{3}) - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.16.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 18 \cdot 10 x^{2} x^{3} - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.16.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.3.16.3.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 18 \cdot 10 (x^{3} x^{2}) - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.16.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 18 \cdot 10 x^{3 + 2} - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.16.3.3

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 18 \cdot 10 x^{5} - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.16.4

Mutltipliziere $- 18$ mit $10$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 18 x^{2} (25 x) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.16.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 18 \cdot 25 x^{2} x + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.16.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.3.16.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 18 \cdot 25 (x \cdot x^{2}) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.16.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.6.3.16.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 18 \cdot 25 (x^{1} x^{2}) + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.16.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 18 \cdot 25 x^{1 + 2} + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.16.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 18 \cdot 25 x^{3} + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.16.7

Mutltipliziere $- 18$ mit $25$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 450 x^{3} + 30 x^{5} + 30 (10 x^{3}) + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.16.8

Mutltipliziere $10$ mit $30$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 450 x^{3} + 30 x^{5} + 300 x^{3} + 30 (25 x))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.16.9

Mutltipliziere $25$ mit $30$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 180 x^{5} - 450 x^{3} + 30 x^{5} + 300 x^{3} + 750 x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.17

Addiere $- 180 x^{5}$ und $30 x^{5}$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 150 x^{5} - 450 x^{3} + 300 x^{3} + 750 x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.18

Addiere $- 450 x^{3}$ und $300 x^{3}$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7} - 150 x^{5} - 150 x^{3} + 750 x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.19

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x + 10 (- 18 x^{7}) + 10 (- 150 x^{5}) + 10 (- 150 x^{3}) + 10 (750 x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.20

Vereinfache.

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Schritt 3.6.3.20.1

Mutltipliziere $- 18$ mit $10$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x - 180 x^{7} + 10 (- 150 x^{5}) + 10 (- 150 x^{3}) + 10 (750 x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.20.2

Mutltipliziere $- 150$ mit $10$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x - 180 x^{7} - 1500 x^{5} + 10 (- 150 x^{3}) + 10 (750 x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.20.3

Mutltipliziere $- 150$ mit $10$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x - 180 x^{7} - 1500 x^{5} - 1500 x^{3} + 10 (750 x)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.20.4

Mutltipliziere $750$ mit $10$ .

$\frac{60 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x - 180 x^{7} - 1500 x^{5} - 1500 x^{3} + 7500 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.21

Subtrahiere $180 x^{7}$ von $60 x^{7}$ .

$\frac{- 120 x^{7} + 900 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x - 1500 x^{5} - 1500 x^{3} + 7500 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.22

Subtrahiere $1500 x^{5}$ von $900 x^{5}$ .

$\frac{- 120 x^{7} - 600 x^{5} + 4500 x^{3} + 7500 x - 1500 x^{3} + 7500 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.23

Subtrahiere $1500 x^{3}$ von $4500 x^{3}$ .

$\frac{- 120 x^{7} - 600 x^{5} + 3000 x^{3} + 7500 x + 7500 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.24

Addiere $7500 x$ und $7500 x$ .

$\frac{- 120 x^{7} - 600 x^{5} + 3000 x^{3} + 15000 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.25

Schreibe $- 120 x^{7} - 600 x^{5} + 3000 x^{3} + 15000 x$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.6.3.25.1

Faktorisiere $120 x$ aus $- 120 x^{7} - 600 x^{5} + 3000 x^{3} + 15000 x$ heraus.

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Schritt 3.6.3.25.1.1

Faktorisiere $120 x$ aus $- 120 x^{7}$ heraus.

$\frac{120 x (- x^{6}) - 600 x^{5} + 3000 x^{3} + 15000 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.25.1.2

Faktorisiere $120 x$ aus $- 600 x^{5}$ heraus.

$\frac{120 x (- x^{6}) + 120 x (- 5 x^{4}) + 3000 x^{3} + 15000 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.25.1.3

Faktorisiere $120 x$ aus $3000 x^{3}$ heraus.

$\frac{120 x (- x^{6}) + 120 x (- 5 x^{4}) + 120 x (25 x^{2}) + 15000 x}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.25.1.4

Faktorisiere $120 x$ aus $15000 x$ heraus.

$\frac{120 x (- x^{6}) + 120 x (- 5 x^{4}) + 120 x (25 x^{2}) + 120 x (125)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.25.1.5

Faktorisiere $120 x$ aus $120 x (- x^{6}) + 120 x (- 5 x^{4})$ heraus.

$\frac{120 x (- x^{6} - 5 x^{4}) + 120 x (25 x^{2}) + 120 x (125)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.25.1.6

Faktorisiere $120 x$ aus $120 x (- x^{6} - 5 x^{4}) + 120 x (25 x^{2})$ heraus.

$\frac{120 x (- x^{6} - 5 x^{4} + 25 x^{2}) + 120 x (125)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.25.1.7

Faktorisiere $120 x$ aus $120 x (- x^{6} - 5 x^{4} + 25 x^{2}) + 120 x (125)$ heraus.

$\frac{120 x (- x^{6} - 5 x^{4} + 25 x^{2} + 125)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.25.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.6.3.25.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{120 x ((- x^{6} - 5 x^{4}) + 25 x^{2} + 125)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.25.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{120 x (x^{4} (- x^{2} - 5) - 25 (- x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.25.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x^{2} - 5$ .

$\frac{120 x ((- x^{2} - 5) (x^{4} - 25))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.25.4

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{120 x ((- x^{2} - 5) ({(x^{2})}^{2} - 25))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.25.5

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{120 x ((- x^{2} - 5) ({(x^{2})}^{2} - 5^{2}))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.25.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 5$ .

$\frac{120 x ((- x^{2} - 5) (x^{2} + 5) (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.25.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.6.3.25.7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{120 x ((- (x^{2}) - 5) (x^{2} + 5) (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.25.7.2

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{120 x ((- (x^{2}) - 1 (5)) (x^{2} + 5) (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.25.7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (5)$ heraus.

$\frac{120 x (- (x^{2} + 5) (x^{2} + 5) (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.25.7.4

Schreibe $- (x^{2} + 5)$ als $- 1 (x^{2} + 5)$ um.

$\frac{120 x (- 1 (x^{2} + 5) (x^{2} + 5) (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.25.7.5

Potenziere $x^{2} + 5$ mit $1$ .

$\frac{120 x (- 1 ({(x^{2} + 5)}^{1} (x^{2} + 5)) (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.25.7.6

Potenziere $x^{2} + 5$ mit $1$ .

$\frac{120 x (- 1 ({(x^{2} + 5)}^{1} {(x^{2} + 5)}^{1}) (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.25.7.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{120 x (- 1 {(x^{2} + 5)}^{1 + 1} (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.25.7.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{120 x (- 1 {(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

$\frac{120 x \cdot - 1 {(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.25.8

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.6.3.25.8.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- (120 x {(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.3.25.8.2

Mutltipliziere $120$ mit $- 1$ .

$\frac{- 120 (x {(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

$\frac{- 120 x {(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.4

Vereine die Terme

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Schritt 3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x^{2} + 5)}^{2}$ und ${(x^{2} + 5)}^{6}$ .

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Schritt 3.6.4.1.1

Faktorisiere ${(x^{2} + 5)}^{2}$ aus $- 120 x {(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} - 5)$ heraus.

$\frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (- 120 x (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{6}}$

Schritt 3.6.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.4.1.2.1

Faktorisiere ${(x^{2} + 5)}^{2}$ aus ${(x^{2} + 5)}^{6}$ heraus.

$\frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (- 120 x (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (- 120 x (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{2} {(x^{2} + 5)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 120 x (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = - \frac{120 x (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $- 120$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{120 x (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$ nach $x$ gleich $- 120 \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{4}}]$ .

$- 120 \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{4}}]$

Schritt 4.2

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 5)] - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{({(x^{2} + 5)}^{4})}^{2}}$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 5)}^{4})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 5)] - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{4 \cdot 2}}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 5)] - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} - 5$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Schritt 4.5

Differenziere.

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Schritt 4.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Schritt 4.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (x (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Schritt 4.5.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (x (2 x + 0) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Schritt 4.5.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (x (2 x) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Schritt 4.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (2 (x^{1} x) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Schritt 4.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Schritt 4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Schritt 4.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.9.1

Addiere $1$ und $1$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (2 x^{2} + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Schritt 4.9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (2 x^{2} + (x^{2} - 5) \cdot 1) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Schritt 4.9.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.9.3.1

Mutltipliziere $x^{2} - 5$ mit $1$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (2 x^{2} + x^{2} - 5) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Schritt 4.9.3.2

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (3 x^{2} - 5) - x (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{4}]}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Schritt 4.10

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Schritt 4.10.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 5$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (3 x^{2} - 5) - x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Schritt 4.10.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (3 x^{2} - 5) - x (x^{2} - 5) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Schritt 4.10.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 5$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (3 x^{2} - 5) - x (x^{2} - 5) (4 {(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Schritt 4.11

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.11.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{4} (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Schritt 4.11.2

Faktorisiere ${(x^{2} + 5)}^{3}$ aus ${(x^{2} + 5)}^{4} (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ heraus.

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Schritt 4.11.2.1

Faktorisiere ${(x^{2} + 5)}^{3}$ aus ${(x^{2} + 5)}^{4} (3 x^{2} - 5)$ heraus.

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5)) - 4 x (x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Schritt 4.11.2.2

Faktorisiere ${(x^{2} + 5)}^{3}$ aus $- 4 x (x^{2} - 5) ({(x^{2} + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ heraus.

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5)) + {(x^{2} + 5)}^{3} (- 4 x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Schritt 4.11.2.3

Faktorisiere ${(x^{2} + 5)}^{3}$ aus ${(x^{2} + 5)}^{3} ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5)) + {(x^{2} + 5)}^{3} (- 4 x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))$ heraus.

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{{(x^{2} + 5)}^{8}}$

Schritt 4.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.12.1

Faktorisiere ${(x^{2} + 5)}^{3}$ aus ${(x^{2} + 5)}^{8}$ heraus.

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{{(x^{2} + 5)}^{3} {(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 120 \frac{{(x^{2} + 5)}^{3} ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))}{{(x^{2} + 5)}^{3} {(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.12.3

Forme den Ausdruck um.

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5])}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.13

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.15

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.16

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.16.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 4 x (x^{2} - 5) (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.16.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 x (x^{2} - 5) x}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.17

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 (x^{1} x) (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.18

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 (x^{1} x^{1}) (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.19

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 x^{1 + 1} (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.20

Addiere $1$ und $1$ .

$- 120 \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 x^{2} (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.21

Kombiniere $- 120$ und $\frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 x^{2} (x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$ .

$\frac{- 120 ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 x^{2} (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{120 ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 x^{2} (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23

Vereinfache.

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Schritt 4.23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{120 ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5) - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{120 ((x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5)) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.23.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.23.3.1.1

Multipliziere $(x^{2} + 5) (3 x^{2} - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.23.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{120 (x^{2} (3 x^{2} - 5) + 5 (3 x^{2} - 5)) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{120 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 5 + 5 (3 x^{2} - 5)) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{120 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 5 + 5 (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.23.3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.23.3.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{120 (3 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 5 + 5 (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.2.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.23.3.1.2.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$- \frac{120 (3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot - 5 + 5 (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{120 (3 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 5 + 5 (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.2.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$- \frac{120 (3 x^{4} + x^{2} \cdot - 5 + 5 (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.2.1.3

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$- \frac{120 (3 x^{4} - 5 \cdot x^{2} + 5 (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$- \frac{120 (3 x^{4} - 5 x^{2} + 15 x^{2} + 5 \cdot - 5) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.2.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

$- \frac{120 (3 x^{4} - 5 x^{2} + 15 x^{2} - 25) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.2.2

Addiere $- 5 x^{2}$ und $15 x^{2}$ .

$- \frac{120 (3 x^{4} + 10 x^{2} - 25) + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{120 (3 x^{4}) + 120 (10 x^{2}) + 120 \cdot - 25 + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.23.3.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $120$ .

$- \frac{360 x^{4} + 120 (10 x^{2}) + 120 \cdot - 25 + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.4.2

Mutltipliziere $10$ mit $120$ .

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} + 120 \cdot - 25 + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.4.3

Mutltipliziere $120$ mit $- 25$ .

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 + 120 (- 8 x^{2} x^{2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.23.3.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 + 120 (- 8 (x^{2} x^{2})) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 + 120 (- 8 x^{2 + 2}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 + 120 (- 8 x^{4}) + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $120$ .

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 - 960 x^{4} + 120 (- 8 x^{2} \cdot - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.7

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 8$ .

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 - 960 x^{4} + 120 (40 x^{2})}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.1.8

Mutltipliziere $40$ mit $120$ .

$- \frac{360 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 - 960 x^{4} + 4800 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.2

Subtrahiere $960 x^{4}$ von $360 x^{4}$ .

$- \frac{- 600 x^{4} + 1200 x^{2} - 3000 + 4800 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.3.3

Addiere $1200 x^{2}$ und $4800 x^{2}$ .

$- \frac{- 600 x^{4} + 6000 x^{2} - 3000}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.4

Faktorisiere $600$ aus $- 600 x^{4} + 6000 x^{2} - 3000$ heraus.

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Schritt 4.23.4.1

Faktorisiere $600$ aus $- 600 x^{4}$ heraus.

$- \frac{600 (- x^{4}) + 6000 x^{2} - 3000}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.4.2

Faktorisiere $600$ aus $6000 x^{2}$ heraus.

$- \frac{600 (- x^{4}) + 600 (10 x^{2}) - 3000}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.4.3

Faktorisiere $600$ aus $- 3000$ heraus.

$- \frac{600 (- x^{4}) + 600 (10 x^{2}) + 600 (- 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.4.4

Faktorisiere $600$ aus $600 (- x^{4}) + 600 (10 x^{2})$ heraus.

$- \frac{600 (- x^{4} + 10 x^{2}) + 600 (- 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.4.5

Faktorisiere $600$ aus $600 (- x^{4} + 10 x^{2}) + 600 (- 5)$ heraus.

$- \frac{600 (- x^{4} + 10 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{4}$ heraus.

$- \frac{600 (- (x^{4}) + 10 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.6

Faktorisiere $- 1$ aus $10 x^{2}$ heraus.

$- \frac{600 (- (x^{4}) - (- 10 x^{2}) - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4}) - (- 10 x^{2})$ heraus.

$- \frac{600 (- (x^{4} - 10 x^{2}) - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.8

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$- \frac{600 (- (x^{4} - 10 x^{2}) - 1 (5))}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4} - 10 x^{2}) - 1 (5)$ heraus.

$- \frac{600 (- (x^{4} - 10 x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.10

Schreibe $- (x^{4} - 10 x^{2} + 5)$ als $- 1 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)$ um.

$- \frac{600 (- 1 (x^{4} - 10 x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{600 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{600 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 4.23.13

Mutltipliziere $\frac{600 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{600 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{600 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$ .

$\frac{600 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{5}}$