Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ bei $4$ und $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{16 - 2}{3}$

Schritt 3.2.10

Subtrahiere $2$ von $16$ .

$\frac{14}{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{14}{3}$

Dezimalform:

$4.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$4 \frac{2}{3}$

Schritt 5