Analysis Beispiele

$x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}] + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 5$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 5$ .

$x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.3

Bringe ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.4

Kombiniere $\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5] + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x) + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} x + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11.3

Kombiniere $\frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ und $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 15

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Schritt 17

Mutltipliziere ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 18

Um ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 19

Kombiniere ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21

Multipliziere ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ mit ${(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 21.1

Bewege ${(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{2 x^{2} + {(x^{2} + 5)}^{1} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 22

Vereinfache ${(x^{2} + 5)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{2 x^{2} + (x^{2} + 5) \cdot 3}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 23

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2} + 5$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 \cdot (x^{2} + 5)}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 24

Vereinfache.

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Schritt 24.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot 5}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 24.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 24.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x^{2} + 15}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 24.2.2

Addiere $2 x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} + 15}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 24.3

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2} + 15$ heraus.

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Schritt 24.3.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$\frac{5 (x^{2}) + 15}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 24.3.2

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$\frac{5 x^{2} + 5 \cdot 3}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 24.3.3

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2} + 5 \cdot 3$ heraus.

$\frac{5 (x^{2} + 3)}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$