Analysis Beispiele

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} + 1$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} + 1) (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$(x^{2} + 1) (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 1$ .

$2 \cdot (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (2 x + 0)$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (2 x)$

Schritt 2.8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 1$ .

$2 (x^{2} + 1) x + 2 \cdot (x^{2} - 1) x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x + 2 (x^{2} - 1) x$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + 2 (x^{2} - 1) x$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + (2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

Schritt 3.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

Schritt 3.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

Schritt 3.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

Schritt 3.5.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{3} + 2 x + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 1 x$

Schritt 3.5.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 1 x$

Schritt 3.5.7

Addiere $1$ und $2$ .

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3} + 2 \cdot - 1 x$

Schritt 3.5.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3} - 2 x$

Schritt 3.5.9

Addiere $2 x^{3}$ und $2 x^{3}$ .

$4 x^{3} + 2 x - 2 x$

Schritt 3.5.10

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$4 x^{3} + 0$

Schritt 3.5.11

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$4 x^{3}$