Analysis Beispiele

$\frac{x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} \cdot 1 + 1 \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x^{2} + 1 - 1 \cdot 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 1 \cdot 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{- x^{2} + 1^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Stelle $- x^{2}$ und $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$