Analysis Beispiele

${(x^{2} + 1)}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (x^{2} + 1) (2 x + 0)$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 (x^{2} + 1) (2 x)$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 (x^{2} + 1) x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x^{2} + 4 \cdot 1) x$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} x + 4 \cdot 1 x$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot 1 x$

Schritt 3.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x^{1 + 2} + 4 \cdot 1 x$

Schritt 3.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot 1 x$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 x^{3} + 4 x$