Analysis Beispiele

$\int_{1}^{9} \sqrt{x} d x$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ bei $9$ und $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $27$ .

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $3$ .

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Schritt 3.2.7.1

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.7.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 1$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$18 - \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.10

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.11

Kombiniere $18$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Schritt 3.2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.13.1

Mutltipliziere $18$ mit $3$ .

$\frac{54 - 2}{3}$

Schritt 3.2.13.2

Subtrahiere $2$ von $54$ .

$\frac{52}{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{52}{3}$

Dezimalform:

$17.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$17 \frac{1}{3}$

Schritt 5