Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $\frac{4}{2}$ und $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Schritt 1.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Schritt 1.1.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Schritt 1.1.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Schritt 1.1.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Schritt 1.1.2.5.2.4

Dividiere $2 x^{3}$ durch $1$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} + 6 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 (2 x)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x^{2} + 12 x$ .

$6 x^{2} + 12 x$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x^{2} + 12 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$6 x^{2} + 12 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{2} + 12 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$6 x (x) + 12 x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $6 x$ aus $12 x$ heraus.

$6 x (x) + 6 x (2) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x (x) + 6 x (2)$ heraus.

$6 x (x + 2) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 x (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $0$ in $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 0 + 2 {(0)}^{3}$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3}$

Schritt 3.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 3.3

Ersetze $- 2$ in $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{4} + 2 {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot 16 + 2 {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (8)) + 2 {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8) + 2 {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2) = 8 + 2 {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f (- 2) = 8 + 2 \cdot - 8$

Schritt 3.3.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$f (- 2) = 8 - 16$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $16$ von $8$ .

$f (- 2) = - 8$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 8$ .

$- 8$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 2$ in $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(- 2, - 8)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 2, - 8)$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (- 2, - 8)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 6 {(- 2.1)}^{2} + 12 (- 2.1)$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2.1$ mit $2$ .

$f'' (- 2.1) = 6 \cdot 4.41 + 12 (- 2.1)$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 26.46 + 12 (- 2.1)$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 26.46 - 25.2$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $25.2$ von $26.46$ .

$f'' (- 2.1) = 1.26$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.26$ .

$1.26$

Schritt 5.3

Bei $- 2.1$ ist die zweite Ableitung $1.26$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - 2)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f'' (- 1) = 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (- 1) = 6 \cdot 1 + 12 (- 1)$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f'' (- 1) = 6 + 12 (- 1)$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$f'' (- 1) = 6 - 12$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $12$ von $6$ .

$f'' (- 1) = - 6$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$- 6$

Schritt 6.3

Bei $- 1$ , die zweite Ableitung ist $- 6$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 2, 0)$

Abfallend im Intervall $(- 2, 0)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $0.1$ mit $2$ .

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 12 (0.1)$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 1.2$

Schritt 7.2.2

Addiere $0.06$ und $1.2$ .

$f'' (0.1) = 1.26$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.26$ .

$1.26$

Schritt 7.3

Bei $0.1$ ist die zweite Ableitung $1.26$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 8), (0, 0)$ .

$(- 2, - 8), (0, 0)$

Schritt 9