Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall f(x)=3x^2-1 , [1,3]
,
Schritt 1
Ermittle die kritischen Punkte.
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Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.2
Berechne .
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Schritt 1.1.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.3
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
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Schritt 1.1.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.1.3.2
Addiere und .
Schritt 1.1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 1.2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 1.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.2.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 1.3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 1.3.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
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Schritt 1.4.1
Berechne bei .
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Schritt 1.4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.1.2
Vereinfache.
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Schritt 1.4.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.4.1.2.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 1.4.1.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.4.2
Liste all Punkte auf.
Schritt 2
Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.
Schritt 3
Werte die enthaltenen Endpunkte aus.
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Schritt 3.1
Berechne bei .
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Schritt 3.1.1
Ersetze durch .
Schritt 3.1.2
Vereinfache.
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Schritt 3.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 3.1.2.1.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 3.1.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 3.2
Berechne bei .
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Schritt 3.2.1
Ersetze durch .
Schritt 3.2.2
Vereinfache.
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Schritt 3.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 3.2.2.1.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
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Schritt 3.2.2.1.1.1
Mutltipliziere mit .
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Schritt 3.2.2.1.1.1.1
Potenziere mit .
Schritt 3.2.2.1.1.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 3.2.2.1.1.2
Addiere und .
Schritt 3.2.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 3.2.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 3.3
Liste all Punkte auf.
Schritt 4
Vergleiche die für jeden Wert von gefundenen -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten -Wert und das Minimum beim niedrigsten -Wert auftreten.
Absolutes Maximum:
Absolutes Minimum:
Schritt 5