Analysis Beispiele

$\frac{x}{x^{2} + 2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 2$ .

$\frac{(x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $x^{2} + 2$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{x^{2} + 2 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 2 - x (2 x + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} + 2 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} + 2 - x (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 2 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} + 2 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 7

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) + 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 8.2

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- 2)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 8.4

Schreibe $- (x^{2} - 2)$ als $- 1 (x^{2} - 2)$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Schritt 8.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$