Analysis Beispiele

$x (x^{2} - \frac{5}{x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} - \frac{5}{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{5}{x}] + (x^{2} - \frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - \frac{5}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]) + (x^{2} - \frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]) + (x^{2} - \frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{5}{x}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x (2 x - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x^{2} - \frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$x (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (x^{2} - \frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$x (2 x - 5 (- x^{- 2})) + (x^{2} - \frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$x (2 x + 5 x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (2 x + 5 x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{5}{x}) \cdot 1$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $x^{2} - \frac{5}{x}$ mit $1$ .

$x (2 x + 5 x^{- 2}) + x^{2} - \frac{5}{x}$

Schritt 3

Um $x (2 x + 5 x^{- 2})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x + 5 x^{- 2}) x}{x} - \frac{5}{x}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{x (2 x + 5 x^{- 2}) x - 5}{x}$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x (2 x + 5 x^{- 2}) - 5}{x}$

Schritt 6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{1} (2 x + 5 x^{- 2}) - 5}{x}$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} + \frac{x^{1 + 1} (2 x + 5 x^{- 2}) - 5}{x}$

Schritt 8

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + 5 x^{- 2}) - 5}{x}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + 5 \frac{1}{x^{2}}) - 5}{x}$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} (5 \frac{1}{x^{2}}) - 5}{x}$

Schritt 9.3

Vereine die Terme

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Schritt 9.3.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.3.1.1

Bewege $x$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 + x^{2} (5 \frac{1}{x^{2}}) - 5}{x}$

Schritt 9.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 9.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 + x^{2} (5 \frac{1}{x^{2}}) - 5}{x}$

Schritt 9.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} + \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 + x^{2} (5 \frac{1}{x^{2}}) - 5}{x}$

Schritt 9.3.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{2} + \frac{x^{3} \cdot 2 + x^{2} (5 \frac{1}{x^{2}}) - 5}{x}$

Schritt 9.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$x^{2} + \frac{2 \cdot x^{3} + x^{2} (5 \frac{1}{x^{2}}) - 5}{x}$

Schritt 9.3.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + x^{2} \frac{5}{x^{2}} - 5}{x}$

Schritt 9.3.4

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{5}{x^{2}}$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{x^{2} \cdot 5}{x^{2}} - 5}{x}$

Schritt 9.3.5

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{5 \cdot x^{2}}{x^{2}} - 5}{x}$

Schritt 9.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 9.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{5 x^{2}}{x^{2}} - 5}{x}$

Schritt 9.3.6.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 5 - 5}{x}$

Schritt 9.3.7

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 0}{x}$

Schritt 9.3.8

Addiere $2 x^{3}$ und $0$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3}}{x}$

Schritt 9.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 9.3.9.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x}$

Schritt 9.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.9.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}}$

Schritt 9.3.9.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Schritt 9.3.9.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Schritt 9.3.9.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{2 x^{2}}{1}$

Schritt 9.3.9.2.5

Dividiere $2 x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + 2 x^{2}$

Schritt 9.3.10

Addiere $x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$3 x^{2}$