Analysis Beispiele

$\int_{0}^{45} \frac{1}{\sqrt{t + 4}} d t$

Schritt 1

Sei $u = t + 4$ . Dann ist $d u = d t$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = t + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $t + 4$ .

$\frac{d}{d t} [t + 4]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 4$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 1.1.4

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = t + 4$ ein.

$u_{lower} = 0 + 4$

Schritt 1.3

Addiere $0$ und $4$ .

$u_{lower} = 4$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = t + 4$ ein.

$u_{upper} = 45 + 4$

Schritt 1.5

Addiere $45$ und $4$ .

$u_{upper} = 49$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 49$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{4}^{49} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{4}^{49} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{4}^{49} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{4}^{49} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int_{4}^{49} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{4}^{49} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{49}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $2 u^{\frac{1}{2}}$ bei $49$ und $4$ .

$(2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 7^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.4

Berechne den Exponenten.

$2 \cdot 7 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$14 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$14 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 4.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$14 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 4.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$14 - 2 \cdot 2^{1}$

Schritt 4.2.9

Berechne den Exponenten.

$14 - 2 \cdot 2$

Schritt 4.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$14 - 4$

Schritt 4.2.11

Subtrahiere $4$ von $14$ .

$10$

Schritt 5