Analysis Beispiele

$\int \arctan (4 t) d t$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \arctan (4 t)$ und $d v = 1$ .

$\arctan (4 t) t - \int t \frac{4}{16 t^{2} + 1} d t$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $t$ und $\frac{4}{16 t^{2} + 1}$ .

$\arctan (4 t) t - \int \frac{t \cdot 4}{16 t^{2} + 1} d t$

Schritt 2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $t$ .

$\arctan (4 t) t - \int \frac{4 t}{16 t^{2} + 1} d t$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\arctan (4 t) t - (4 \int \frac{t}{16 t^{2} + 1} d t)$

Schritt 4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{t}{16 t^{2} + 1} d t$

Schritt 5

Sei $u = 16 t^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 32 t d t$ , folglich $\frac{1}{32} d u = t d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 16 t^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $16 t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [16 t^{2} + 1]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 t^{2} + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [16 t^{2}]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $16$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $16 t^{2}$ nach $t$ gleich $16 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$16 (2 t) + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$32 t + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$32 t + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $32 t$ und $0$ .

$32 t$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{32}$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{u \cdot 32} d u$

Schritt 6.2

Bringe $32$ auf die linke Seite von $u$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{32 u} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{32}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{32}$ aus dem Integral.

$\arctan (4 t) t - 4 (\frac{1}{32} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{32}$ und $- 4$ .

$\arctan (4 t) t + \frac{- 4}{32} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $32$ .

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\arctan (4 t) t + \frac{4 (- 1)}{32} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $32$ heraus.

$\arctan (4 t) t + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arctan (4 t) t + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\arctan (4 t) t + \frac{- 1}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \ln (| u |) + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $16 t^{2} + 1$ .

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \ln (| 16 t^{2} + 1 |) + C$