Analysis Beispiele

$\int_{25}^{3} 6 \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 1

Kombiniere $6$ und $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ .

$\int_{25}^{3} \frac{6 \ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 2

Da $6$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int_{25}^{3} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 3

Schreibe $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ als ein Produkt um.

$6 \int_{25}^{3} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (y)$ und $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y)$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{y}$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y)$

Schritt 5.2

Kombiniere $y^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2}{y}$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y)$

Schritt 5.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y)$

Schritt 5.4

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y)$

Schritt 5.5

Multipliziere $y$ mit $y^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{- \frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y)$

Schritt 5.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y)$

Schritt 5.5.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y)$

Schritt 5.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y)$

Schritt 5.5.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - \int_{25}^{3} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - (2 \int_{25}^{3} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y))$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

Schritt 7.2

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y)$

Schritt 7.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y)$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} y^{\frac{- 1}{2}} d y)$

Schritt 7.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 \int_{25}^{3} y^{- \frac{1}{2}} d y)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- \frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{25}^{3} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{25}^{3}))$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Berechne $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ bei $3$ und $25$ .

$6 ((\ln (3) (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{25}^{3}))$

Schritt 9.2

Berechne $2 y^{\frac{1}{2}}$ bei $3$ und $25$ .

$6 ((\ln (3) (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})) - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (3)$ .

$6 (2 \cdot \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5^{1}) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.5

Berechne den Exponenten.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) (2 \cdot 5) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \ln (25) \cdot 10 - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.7

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 ((2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.8

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 9.3.9

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}))$

Schritt 9.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}))$

Schritt 9.3.10.2

Forme den Ausdruck um.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5^{1}))$

Schritt 9.3.11

Berechne den Exponenten.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 5))$

Schritt 9.3.12

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (25) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

Schritt 10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Schreibe $\ln (25)$ als $\ln (5^{2})$ um.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 \ln (5^{2}) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

Schritt 10.1.2

Zerlege $\ln (5^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10 (2 \ln (5)) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

Schritt 10.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 10))$

Schritt 10.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot - 10)$

Schritt 10.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 10)$

Schritt 10.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 10$ .

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 20 \ln (5) - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 20)$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (2 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 (- 20 \ln (5)) + 6 (- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 \cdot 20$

Schritt 10.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 (- 20 \ln (5)) + 6 (- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 \cdot 20$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $6$ .

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 120 \ln (5) + 6 (- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + 6 \cdot 20$

Schritt 10.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 6 \cdot 20$

Schritt 10.3.4

Mutltipliziere $6$ mit $20$ .

$12 (\ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 120$

$12 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 120$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$12 \ln (3) \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 120 \ln (5) - 24 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 120$

Dezimalform:

$- 91.86754125 \dots$