Analysis Beispiele

$\int e^{x} \sqrt{1 + e^{x}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 + e^{x}$ . Dann ist $d u = e^{x} d x$ , folglich $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + e^{x}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $e^{x}$ .

$e^{x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt{u} d u$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $1 + e^{x}$ .

$\frac{2}{3} {(1 + e^{x})}^{\frac{3}{2}} + C$