Analysis Beispiele

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} - \frac{1}{t^{2} + t}$

Schritt 1

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 1.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.1

Um $\frac{1}{t}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{t^{2} + t}{t^{2} + t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \cdot \frac{t^{2} + t}{t^{2} + t} - \frac{1}{t^{2} + t}$

Schritt 1.1.2

Um $- \frac{1}{t^{2} + t}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{t}{t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \cdot \frac{t^{2} + t}{t^{2} + t} - \frac{1}{t^{2} + t} \cdot \frac{t}{t}$

Schritt 1.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $t (t^{2} + t)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{t}$ mit $\frac{t^{2} + t}{t^{2} + t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{1}{t^{2} + t} \cdot \frac{t}{t}$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{t^{2} + t}$ mit $\frac{t}{t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{t}{(t^{2} + t) t}$

Schritt 1.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(t^{2} + t) t$ um.

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{t}{t (t^{2} + t)}$

Schritt 1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t - t}{t (t^{2} + t)}$

Schritt 1.1.5

Subtrahiere $t$ von $t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + 0}{t (t^{2} + t)}$

Schritt 1.1.6

Addiere $t^{2}$ und $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2}}{t (t^{2} + t)}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t^{2}$ und $t$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2}$ heraus.

$lim_{t \to 0} \frac{t \cdot t}{t (t^{2} + t)}$

Schritt 1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{t \to 0} \frac{t \cdot t}{t (t^{2} + t)}$

Schritt 1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{t \to 0} \frac{t}{t^{2} + t}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{t \to 0} t}{lim_{t \to 0} t^{2} + t}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{2} + t}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{2} + lim_{t \to 0} t}$

Schritt 2.1.3.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $t^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{t \to 0} t)}^{2} + lim_{t \to 0} t}$

Schritt 2.1.3.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $t$ .

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Schritt 2.1.3.3.1

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{0}{0^{2} + lim_{t \to 0} t}$

Schritt 2.1.3.3.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

Schritt 2.1.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Schritt 2.1.3.4.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.4.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{t \to 0} \frac{t}{t^{2} + t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} + t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]}$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 t + \frac{d}{d t} [t]}$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 t + 1}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} 2 t + 1}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{lim_{t \to 0} 2 t + 1}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{lim_{t \to 0} 2 t + lim_{t \to 0} 1}$

Schritt 3.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{1}{2 lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 1}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2 lim_{t \to 0} t + 1}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $0$ für $t$ .

$\frac{1}{2 \cdot 0 + 1}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Schritt 5.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 5.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$