Analysis Beispiele

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Schritt 2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}]$

Schritt 3

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}]$

Schritt 3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{1 - \frac{1}{2}}}]$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}]$

Schritt 3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{\frac{2 - 1}{2}}}]$

Schritt 3.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 5.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Schritt 7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Schritt 10.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$3 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Schritt 11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Schritt 12

Kombiniere $x^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 13

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 14

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 3 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 15

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.1

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 15.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$