Analysis Beispiele

$y = \frac{(x + 5) x}{x + 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit

$f (x) = (x + 5) x$ und

$g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 5) x] - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit

$f (x) = x + 5$ und

$g (x) = x$ .

$\frac{(x + 1) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$\frac{(x + 1) ((x + 5) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere

$x + 5$ mit

$1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

$x + 5$ nach

$x$

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x (1 + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

$5$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$5$ bezüglich

$x$ gleich

$0$ .

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x (1 + 0)) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.6.1

Addiere

$1$ und

$0$ .

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x \cdot 1) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere

$x$ mit

$1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 5 + x) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.3

Addiere

$x$ und

$x$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

$x + 1$ nach

$x$

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.9

$1$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$1$ bezüglich

$x$ gleich

$0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.10.1

Addiere

$1$ und

$0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - (x + 5) x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) + (- x - 1 \cdot 5) x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 1) (2 x + 5) - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Multipliziere

$(x + 1) (2 x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x + 5) + 1 (2 x + 5) - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 + 1 (2 x + 5) - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2.1.2

Multipliziere

$x$ mit

$x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.2.1.2.1

Bewege

$x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2.1.2.2

Mutltipliziere

$x$ mit

$x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2.1.3

Bringe

$5$ auf die linke Seite von

$x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2.1.4

Mutltipliziere

$2 x$ mit

$1$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 2 x + 1 \cdot 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2.1.5

Mutltipliziere

$5$ mit

$1$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 2 x + 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2.2

Addiere

$5 x$ und

$2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x + 5 - x \cdot x - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.3

Multipliziere

$x$ mit

$x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.3.1

Bewege

$x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x + 5 - (x \cdot x) - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.3.2

Mutltipliziere

$x$ mit

$x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x + 5 - x^{2} - 1 \cdot 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$5$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x + 5 - x^{2} - 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere

$x^{2}$ von

$2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 7 x + 5 - 5 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Subtrahiere

$5 x$ von

$7 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 5}{{(x + 1)}^{2}}$