Analysis Beispiele

$\int_{2}^{3} x \sqrt{x - 2} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sqrt{x - 2}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})]_{2}^{3} - \int_{2}^{3} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x - 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{2}^{3} - \int_{2}^{3} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{3} - \int_{2}^{3} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 3

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{3} - (\frac{2}{3} \int_{2}^{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 4

Sei $u = x - 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = x - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 4.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 2$ ein.

$u_{lower} = 2 - 2$

Schritt 4.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 2$ ein.

$u_{upper} = 3 - 2$

Schritt 4.5

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{3} - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ bei $3$ und $2$ .

$(\frac{3 (2 {(3 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Schritt 6.2

Berechne $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{3 (2 {(3 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{3 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3 (2 \cdot 1)}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 6.3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.5.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.6

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$2 - \frac{2 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.7

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$2 - \frac{2 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.8

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - \frac{2 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 - \frac{2 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.9.2

Forme den Ausdruck um.

$2 - \frac{2 (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 - \frac{2 (2 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.11

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$2 - \frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.12

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$2 - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 6.3.13.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$2 - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.13.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$2 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.13.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$2 - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.15

Addiere $2$ und $0$ .

$2 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.16

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.17

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $1$ .

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.18

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.19

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Schritt 6.3.20

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.20.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Schritt 6.3.20.2

Forme den Ausdruck um.

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

Schritt 6.3.21

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

Schritt 6.3.22

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

Schritt 6.3.23

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{5}$ .

$2 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

Schritt 6.3.24

Addiere $\frac{2}{5}$ und $0$ .

$2 - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

Schritt 6.3.25

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$2 - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Schritt 6.3.26

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 - \frac{4}{5 \cdot 3}$

Schritt 6.3.27

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$2 - \frac{4}{15}$

Schritt 6.3.28

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$2 \cdot \frac{15}{15} - \frac{4}{15}$

Schritt 6.3.29

Kombiniere $2$ und $\frac{15}{15}$ .

$\frac{2 \cdot 15}{15} - \frac{4}{15}$

Schritt 6.3.30

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \cdot 15 - 4}{15}$

Schritt 6.3.31

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.31.1

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$\frac{30 - 4}{15}$

Schritt 6.3.31.2

Subtrahiere $4$ von $30$ .

$\frac{26}{15}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{26}{15}$

Dezimalform:

$1.7\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{11}{15}$

Schritt 8