Analysis Beispiele

\int_{0}^{1} (x^{2} + 6) e^{- x} d x

$\int_{0}^{1} (x^{2} + 6) e^{- x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , mit

u = x^{2} + 6

$u = x^{2} + 6$ und

d v = e^{- x}

$d v = e^{- x}$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} (2 x) d x

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} (2 x) d x$

Schritt 2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

- 1

$- 1$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - 2 e^{- x} x d x

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - 2 e^{- x} x d x$

Schritt 3

- 2

$- 2$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ziehe

- 2

$- 2$ aus dem Integral.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - (- 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - (- 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x)$

Schritt 4

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

- 1

$- 1$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , mit

u = x

$u = x$ und

d v = e^{- x}

$d v = e^{- x}$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x)$

Schritt 6

- 1

$- 1$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ziehe

- 1

$- 1$ aus dem Integral.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Schritt 7.2

Mutltipliziere

\int_{0}^{1} e^{- x} d x

$\int_{0}^{1} e^{- x} d x$ mit

1

$1$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Schritt 8

Sei

u = - x

$u = - x$ . Dann ist

d u = - d x

$d u = - d x$ , folglich

- d u = d x

$- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von

u

$u$ und

d

$d$

u

$u$ .

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Schritt 8.1

Es sei

u = - x

$u = - x$ . Ermittle

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere

- x

$- x$ .

\frac{d}{d x} [- x]

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 8.1.2

- 1

$- 1$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

- x

$- x$ nach

x

$x$ gleich

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$- 1$

Schritt 8.2

Setze die untere Grenze für

$x$ in

$u = - x$ ein.

$u_{lower} = - 0$

Schritt 8.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 8.4

Setze die obere Grenze für

$x$ in

$u = - x$ ein.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Schritt 8.5

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$u_{upper} = - 1$

Schritt 8.6

Die für

$u_{lower}$ und

$u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Schritt 8.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von

$u$ ,

$d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)$

Schritt 9

$- 1$ konstant bezüglich

$u$ ist, ziehe

$- 1$ aus dem Integral.

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u)$

Schritt 10

Das Integral von

$e^{u}$ nach

$u$ ist

$e^{u}$ .

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Schritt 11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})$ bei

$1$ und

$0$ .

$((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Schritt 11.2

Berechne

$x (- e^{- x})$ bei

$1$ und

$0$ .

$((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Schritt 11.3

Berechne

$e^{u}$ bei

$- 1$ und

$0$ .

$((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4

Vereinfache.

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Schritt 11.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(1 + 6) (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.2

Addiere

$1$ und

$6$ .

$7 (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$7 (- e^{- 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$7$ .

$- 7 e^{- 1} - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

$0$ .

$- 7 e^{- 1} - (0 + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.6

Addiere

$0$ und

$6$ .

$- 7 e^{- 1} - 1 \cdot 6 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.7

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$6$ .

$- 7 e^{- 1} - 6 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.8

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$0$ .

$- 7 e^{- 1} - 6 (- e^{0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.9

Alles, was mit

$0$ potenziert wird, ist

$1$ .

$- 7 e^{- 1} - 6 (- 1 \cdot 1) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.10

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$- 7 e^{- 1} - 6 \cdot - 1 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.11

Mutltipliziere

$- 6$ mit

$- 1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.12

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (1 (- e^{- 1}) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.13

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.14

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$0$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.15

Alles, was mit

$0$ potenziert wird, ist

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.16

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 \cdot - 1 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.17

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.18

Addiere

$- e^{- 1}$ und

$0$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.19

Alles, was mit

$0$ potenziert wird, ist

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1 \cdot 1))$

Schritt 11.4.20

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 \frac{1}{e} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Schritt 12.1.2

Kombiniere

$- 7$ und

$\frac{1}{e}$ .

$\frac{- 7}{e} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Schritt 12.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Schritt 12.1.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- \frac{1}{e} - (e^{- 1} - 1))$

Schritt 12.1.4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- \frac{1}{e} - (\frac{1}{e} - 1))$

Schritt 12.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} - - 1)$

Schritt 12.1.4.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1)$

Schritt 12.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (1 + \frac{- 1 - 1}{e})$

Schritt 12.1.6

Subtrahiere

$1$ von

$- 1$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (1 + \frac{- 2}{e})$

Schritt 12.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (1 - \frac{2}{e})$

Schritt 12.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 \cdot 1 + 2 (- \frac{2}{e})$

Schritt 12.1.9

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 + 2 (- \frac{2}{e})$

Schritt 12.1.10

Multipliziere

$2 (- \frac{2}{e})$ .

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Schritt 12.1.10.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$2$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 - 2 \frac{2}{e}$

Schritt 12.1.10.2

Kombiniere

$- 2$ und

$\frac{2}{e}$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 + \frac{- 2 \cdot 2}{e}$

Schritt 12.1.10.3

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$2$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 + \frac{- 4}{e}$

Schritt 12.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 - \frac{4}{e}$

Schritt 12.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 + 2 + \frac{- 7 - 4}{e}$

Schritt 12.3

Subtrahiere

$4$ von

$- 7$ .

$6 + 2 + \frac{- 11}{e}$

Schritt 12.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 + 2 - \frac{11}{e}$

Schritt 12.5

Addiere

$6$ und

$2$ .

$8 - \frac{11}{e}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$8 - \frac{11}{e}$

Dezimalform:

$3.95332614 \dots$

Schritt 14