Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ , $[- 3, 4]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 4 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 4 (2 x)$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 8 x$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} - 8 x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 8 x$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ heraus.

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $x^{2} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 2$

Schritt 1.2.5.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 1.2.5.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 1.2.5.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 1.2.5.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (x^{2} - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $x^{4} - 4 x^{2}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 4 {(0)}^{2}$

Schritt 1.4.1.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 4 \cdot 0$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$0 + 0$

Schritt 1.4.1.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = \sqrt{2}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $\sqrt{2}$ .

${(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{4}$ als $2^{2}$ um.

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Schritt 1.4.2.2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.2.1.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.4.2.2.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 1.4.2.2.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 1.4.2.2.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 1.4.2.2.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 - 4 \cdot 2^{1}$

Schritt 1.4.2.2.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$4 - 4 \cdot 2$

Schritt 1.4.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$4 - 8$

Schritt 1.4.2.2.2

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$- 4$

Schritt 1.4.3

Berechne bei $x = - \sqrt{2}$ .

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Schritt 1.4.3.1

Ersetze $x$ durch $- \sqrt{2}$ .

${(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

${(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.4.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.4.3.2.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{4}$ mit $1$ .

${\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.4.3.2.1.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{4}$ als $2^{2}$ um.

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Schritt 1.4.3.2.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.4.3.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.4.3.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$2^{\frac{4}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.4.3.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.4.3.2.1.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.4.3.2.1.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.3.2.1.4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.4.3.2.1.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.4.3.2.1.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2^{\frac{2}{1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.4.3.2.1.4.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2^{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.4.3.2.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Schritt 1.4.3.2.1.6

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$4 - 4 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Schritt 1.4.3.2.1.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$4 - 4 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Schritt 1.4.3.2.1.8

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $1$ .

$4 - 4 {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 1.4.3.2.1.9

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.4.3.2.1.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 1.4.3.2.1.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 1.4.3.2.1.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 1.4.3.2.1.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.3.2.1.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 1.4.3.2.1.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 - 4 \cdot 2^{1}$

Schritt 1.4.3.2.1.9.5

Berechne den Exponenten.

$4 - 4 \cdot 2$

Schritt 1.4.3.2.1.10

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$4 - 8$

Schritt 1.4.3.2.2

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$- 4$

Schritt 1.4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 3$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 3$ .

${(- 3)}^{4} - 4 {(- 3)}^{2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$81 - 4 {(- 3)}^{2}$

Schritt 2.1.2.1.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$81 - 4 \cdot 9$

Schritt 2.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$81 - 36$

Schritt 2.1.2.2

Subtrahiere $36$ von $81$ .

$45$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 4$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

${(4)}^{4} - 4 {(4)}^{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Potenziere $4$ mit $4$ .

$256 - 4 {(4)}^{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$256 - 4 \cdot 16$

Schritt 2.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$256 - 64$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $64$ von $256$ .

$192$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 3, 45), (4, 192)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(4, 192)$

Absolutes Minimum: $(\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

Schritt 4