Analysis Beispiele

$y = x$ , $y = x^{2}$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x = x^{2}$

Schritt 1.2

Löse $x = x^{2}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - x^{2} = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$u - u^{2} = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $u$ aus $u - u^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$u - u^{2} = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Faktorisiere $u$ aus $u^{1}$ heraus.

$u \cdot 1 - u^{2} = 0$

Schritt 1.2.2.2.3

Faktorisiere $u$ aus $- u^{2}$ heraus.

$u \cdot 1 + u (- u) = 0$

Schritt 1.2.2.2.4

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 1 + u (- u)$ heraus.

$u (1 - u) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$x (1 - x) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0 + y = x^{2}$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 1.2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (1 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = {(0)}^{2}$

Schritt 1.3.2

Setze $0$ für $x$ in $y = {(0)}^{2}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{2}$

Schritt 1.3.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$y = {(1)}^{2}$

Schritt 1.4.2

Setze $1$ für $x$ in $y = {(1)}^{2}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 1^{2}$

Schritt 1.4.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 1$

Schritt 1.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{1} x d x - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $1$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{1} x - (x^{2}) d x$

Schritt 3.2

Multipliziere $- 1$ mit $x^{2}$ .

$\int_{0}^{1} x - x^{2} d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Schritt 3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Schritt 3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Schritt 3.7

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Schritt 3.7.2

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.1

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Schritt 3.7.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 3.7.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 3.7.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 3.7.2.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 3.7.2.3.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 3.7.2.3.5

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 3.7.2.3.6

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 3.7.2.3.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 3.7.2.3.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Schritt 3.7.2.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.3.9.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Schritt 3.7.2.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.3.9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 3.7.2.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 3.7.2.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Schritt 3.7.2.3.9.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0)$

Schritt 3.7.2.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} + 0)$

Schritt 3.7.2.3.11

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

Schritt 3.7.2.3.12

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 3.7.2.3.13

Um $- \frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.7.2.3.14

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.3.14.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.7.2.3.14.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.7.2.3.14.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.7.2.3.14.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6}$

Schritt 3.7.2.3.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 - 2}{6}$

Schritt 3.7.2.3.16

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{1}{6}$

Schritt 4