Analysis Beispiele

$x^{2} (1 - 2 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 1 - 2 x$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (- 2 \cdot 1) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$x^{2} \cdot - 2 + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.6.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$- 2 \cdot x^{2} + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 x^{2} + (1 - 2 x) (2 x)$

Schritt 2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 - 2 x$ .

$- 2 x^{2} + 2 \cdot (1 - 2 x) x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x^{2} + (2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)) x$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + 2 (- 2 x) x$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 (- 2 x) x$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x - 4 x \cdot x$

Schritt 3.3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x - 4 (x^{1} x)$

Schritt 3.3.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x - 4 (x^{1} x^{1})$

Schritt 3.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 x^{2} + 2 x - 4 x^{1 + 1}$

Schritt 3.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x - 4 x^{2}$

Schritt 3.3.7

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $- 2 x^{2}$ .

$- 6 x^{2} + 2 x$