Analysis Beispiele

$\frac{4}{x^{2}} - 10 x^{3}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{4}{x^{2}} - 10 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}]$ .

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Schritt 2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$4 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Schritt 2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Schritt 2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Schritt 2.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$- 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 8 x^{- 3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 8 x^{- 3} - 10 (3 x^{2})$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 10$ .

$- 8 x^{- 3} - 30 x^{2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{x^{3}} - 30 x^{2}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 8}{x^{3}} - 30 x^{2}$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{x^{3}} - 30 x^{2}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$- 30 x^{2} - \frac{8}{x^{3}}$