Analysis Beispiele

$y = 16 \sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{4 x^{4} + 4}$ als ${(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$y = 16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ und $g (x) = 4 x^{4} + 4$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x^{4} + 4$ .

$16 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{4}$ .

$16 (\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{4} + 4$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$16 (\frac{1}{4} {(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und ${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$16 (\frac{{(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Schritt 4.9

Bringe ${(4 x^{4} + 4)}^{- \frac{3}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 (\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4])$

Schritt 4.10

Kombiniere $\frac{1}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ und $16$ .

$\frac{16}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Schritt 4.11

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Schritt 4.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.12.1

Faktorisiere $4$ aus $4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}$ heraus.

$\frac{4 \cdot 4}{4 ({(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}})} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Schritt 4.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 4}{4 {(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Schritt 4.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 4]$

Schritt 4.13

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{4} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 4.14

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{4}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 4.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 4.16

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 4.17

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3} + 0)$

Schritt 4.18

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.18.1

Addiere $16 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} (16 x^{3})$

Schritt 4.18.2

Kombiniere $16$ und $\frac{4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{16 \cdot 4}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

Schritt 4.18.3

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}} x^{3}$

Schritt 4.18.4

Kombiniere $\frac{64}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$ und $x^{3}$ .

$\frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{64 x^{3}}{{(4 x^{4} + 4)}^{\frac{3}{4}}}$