Analysis Beispiele

$x^{2} y + y^{2} x = - 2$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y + y^{2} x) = \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y + y^{2} x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

Schritt 2.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2} x]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y^{2}$ und $g (x) = x$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \cdot 1 + x (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \cdot 1 + x (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \cdot 1 + x (2 y y')$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} + x (2 y y')$

Schritt 2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} + 2 x y y'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$y^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y'$

Schritt 3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y' = - y^{2}$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y' + 2 x y y' = - y^{2} - 2 x y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x y'$ aus $x^{2} y' + 2 x y y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x y'$ aus $x^{2} y'$ heraus.

$x y' x + 2 x y y' = - y^{2} - 2 x y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $x y'$ aus $2 x y y'$ heraus.

$x y' x + x y' (2 y) = - y^{2} - 2 x y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $x y'$ aus $x y' x + x y' (2 y)$ heraus.

$x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$ durch $x (x + 2 y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$ durch $x (x + 2 y)$ .

$\frac{x y' (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2 y$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 y}{x + 2 y}$

Schritt 5.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y}{x + 2 y}$

Schritt 5.3.3.2

Um $- \frac{2 y}{x + 2 y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y}{x + 2 y} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (x + 2 y)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 y}{x + 2 y}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y x}{(x + 2 y) x}$

Schritt 5.3.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(x + 2 y) x$ um.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y x}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y^{2} - 2 y x}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2} - 2 y x$ heraus.

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Schritt 5.3.3.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y (- y) - 2 y x}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.3.5.2

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y x$ heraus.

$y' = \frac{y (- y) + y (- 2 x)}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.3.5.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- y) + y (- 2 x)$ heraus.

$y' = \frac{y (- y - 2 x)}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{y (- (y) - 2 x)}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{y (- (y) - (2 x))}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - (2 x)$ heraus.

$y' = \frac{y (- (y + 2 x))}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.9.1

Schreibe $- (y + 2 x)$ als $- 1 (y + 2 x)$ um.

$y' = \frac{y (- 1 (y + 2 x))}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.3.9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y (y + 2 x)}{x (x + 2 y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + 2 x)}{x (x + 2 y)}$