Analysis Beispiele

$\int_{- 2}^{1} \sqrt{3^{2} - x^{2}} d x$

Schritt 1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int_{- 2}^{1} \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $x = 3 \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 3 \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ positiv ist.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $3 \sin (t)$ an.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $9$ aus $- 9 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $9$ aus $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.6

Schreibe $9 \cos^{2} (t)$ als ${(3 \cos (t))}^{2}$ um.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Schritt 3.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Schritt 3.2.3

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Schritt 3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Schritt 3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 \cos^{2} (t) d t$

Schritt 4

Da $9$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos^{2} (t) d t$

Schritt 5

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t)$ als $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$9 \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$9 (\frac{1}{2} \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 1 + \cos (2 t) d t)$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $9$ .

$\frac{9}{2} \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{9}{2} (\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} d t + \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos (2 t) d t)$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos (2 t) d t)$

Schritt 10

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 10.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 10.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot - 0.72972765$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.72972765$ .

$u_{lower} = - 1.45945531$

Schritt 10.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 0.3398369$

Schritt 10.5

Mutltipliziere $2$ mit $0.3398369$ .

$u_{upper} = 0.67967381$

Schritt 10.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 1.45945531$

$u_{upper} = 0.67967381$

Schritt 10.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 11

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \frac{1}{2} \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \cos (u) d u)$

Schritt 13

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 1.45945531}^{0.67967381})$

Schritt 14

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 14.1

Berechne $t$ bei $0.3398369$ und $- 0.72972765$ .

$\frac{9}{2} ((0.3398369) + 0.72972765 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 1.45945531}^{0.67967381})$

Schritt 14.2

Berechne $\sin (u)$ bei $0.67967381$ und $- 1.45945531$ .

$\frac{9}{2} ((0.3398369) + 0.72972765 + \frac{1}{2} ((\sin (0.67967381)) - \sin (- 1.45945531)))$

Schritt 14.3

Addiere $0.3398369$ und $0.72972765$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{1}{2} (\sin (0.67967381) - \sin (- 1.45945531)))$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{1}{2} \sin (0.67967381) + \frac{1}{2} (- \sin (- 1.45945531)))$

Schritt 15.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (0.67967381)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{\sin (0.67967381)}{2} + \frac{1}{2} (- \sin (- 1.45945531)))$

Schritt 15.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (- 1.45945531)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{\sin (0.67967381)}{2} - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

Schritt 15.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.4.1

Berechne $\sin (0.67967381)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{0.62853936}{2} - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

Schritt 15.1.4.2

Dividiere $0.62853936$ durch $2$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

Schritt 15.1.4.3

Berechne $\sin (- 1.45945531)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - \frac{- 0.99380799}{2})$

Schritt 15.1.4.4

Dividiere $- 0.99380799$ durch $2$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - - 0.49690399)$

Schritt 15.1.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.49690399$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 + 0.49690399)$

Schritt 15.1.5

Addiere $0.31426968$ und $0.49690399$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.81117367)$

Schritt 15.2

Addiere $1.06956456$ und $0.81117367$ .

$\frac{9}{2} \cdot 1.88073824$

Schritt 15.3

Multipliziere $\frac{9}{2} \cdot 1.88073824$ .

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Schritt 15.3.1

Kombiniere $\frac{9}{2}$ und $1.88073824$ .

$\frac{9 \cdot 1.88073824}{2}$

Schritt 15.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $1.88073824$ .

$\frac{16.92664417}{2}$

Schritt 15.4

Dividiere $16.92664417$ durch $2$ .

$8.46332208$

Schritt 16